Mathématique m1177

La fonction cosinus

​​​​​​​Lorsque l'on s'intéresse à la relation entre les angles en radians dans le cercle trigonométrique et la valeur des abscisses des points, on obtient ce que l'on appelle la fonction cosinus. C'est une fonction périodique.

La fonction cosinus de base a pour équation |f(x)= \cos(x)|.

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Cette fiche traite de la fonction cosinus et du rôle de quelques paramètres. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter les fiches suivantes.

​Propriétés

|\bullet| La fonction cosinus de base passe toujours par le point (0,1) (A).

|\bullet| La valeur maximale est de 1 (C) et la valeur minimale est de -1 (B).

|\bullet| La période de la fonction de base, c'est-à-dire la distance entre deux maximums consécutifs ou encore la distance entre deux minimums consécutifs, est toujours de |2\pi| radians.

En analysant la fonction |\sin x| et |\cos x| (exemple 1 de l'animation), on peut en déduit l'égalié suivante:

|\sin x = \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right)|

En d'autres mots, il suffit de déplacer la fonction |\cos x| de |\frac{\pi}{2}| vers la droite pour obtenir la fonction |\sin x|.

En gardant cette équivalence en mémoire, on peut déduire une généralité qui fait intevenir le paramètre |b|:

|\begin{align*} &&\sin [b(x)] &= \cos [b(x-t)] &&(\text{t = translation recherchée}) &\\ &\Rightarrow &\sin [bx] &= \cos [bx - bt] && (\text{distribution du} \ b )&\\ &\Rightarrow &\sin [x'] &= \cos [x' - bt] && (\text{substitution de bx par x'})& \\ \end{align*}|

Selon la déduction faite avec les fonctions sinusoïdales de base, on peut déterminer que :

|\begin{align*}​ &&\cos (x - \frac{\pi}{2}) &= \cos [x' - bt] \\ &\Rightarrow &\frac{\pi}{2} &= bt \\ &\Rightarrow &\frac{\pi}{2b} &= t \end{align*}|

Ainsi, dans les fonctions sinusoïdales où |b \neq \{0\}|,

|a \ \sin [b(x-h)] + k = a \ \cos [b(x -(h+\frac{\pi}{2b}))] + k |​ 

La fonction cosinus transformée

La fonction cosinus sous la forme canonique s'écrit de la façon suivante: ||f(x)=a \cos(b(x-h))+k||où
|\mid a \mid |: Amplitude
|b|: Ce paramètre vaut |\frac{2\pi}{\text{période}}|.
|h|: Déphasage (déplacement horizontal)
|k|: L'ordonnée moyenne (déplacement vertical)
Le couple |(h,k)| est un point d'inflexion de la fonction.
Les paramètres |a| et |b| sont non nuls.

Paramètres de la fonction cosinus

L’amplitude

L'amplitude d'une fonction cosinus correspond à la moitié de la valeur de la différence entre le maximum et le minimum de la fonction.


L'amplitude se calcule donc |A = \displaystyle \frac{\max - \min}{2}=\mid a \mid|.

La période

La période est la distance qui sépare deux maximums ou deux minimums consécutifs sur la fonction.
On trouve la période de la fonction à partir de la formule suivante.

|P=\frac{2\pi}{\mid b\mid}|
Ainsi, on peut trouver la valeur absolue de |b| en l'isolant dans la formule ce qui donne:

|\displaystyle \mid b \mid =\frac{2\pi}{P}|.

Le déphasage

Le déphasage est le déplacement horizontal à partir de l'ordonnée à l'origine (0,1) de la fonction de base. On le représente par la lettre |h| dans la fonction cosinus sous la forme canonique.
L’ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation)

L'ordonnée moyenne est la valeur de l'ordonnée autour de laquelle la fonction cosinus oscille. On le représente par la lettre |k| dans la fonction cosinus sous la forme canonique.
On trouve sa valeur avec la formule suivante :

|\displaystyle y_{moy}=\frac{\max f+\min f}{2}|

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Les exercices
Les références