Mathématique m1179

La recherche de la règle d'une fonction cosinus

​​L'équation d'une fonction cosinus s'écrit : ||f(x)=a\cdot\cos(b(x-h))+k.||
Pour trouver la règle d’une fonction cosinus, il faut toujours trouver les informations suivantes : l’amplitude, la période, l’ordonnée moyenne et le déphasage. On doit repérer ces informations dans le texte du problème ou bien sur le graphique de la fonction. 

1. On commence par trouver le déphasage et l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation). Ceci donne les valeurs de |h| et |k|.

2. On détermine la valeur de |a| en trouvant l'amplitude et on détermine son signe.

3. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

À partir du graphique suivant, trouvez l'équation de la fonction cosinus.


1. On commence par trouver le déphasage et l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation).

Ainsi :

|h= -\frac{\pi}{2}| et |k=\frac{10+0}{2}=5|
 
2.
On détermine la valeur de |a| en trouvant l'amplitude.

|A=\frac{\max - \min}{2}=\frac{10-0}{2}=5|

En cherchant la coordonnée des points |(h, k \pm \mid a \mid)|, on trouve que |(h, k - \mid a \mid)| n'existe pas sur la courbe alors que |(h, k + \mid a \mid)| est  un maximum ​de la fonction. Ainsi, la valeur de |a| est positive.

Ainsi, |a=5|.
 
3. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

On mesure la longueur d'un cycle complet dans la fonction. Dans l'exemple, la période est de |4\pi|.

On calcule |b|.

|\displaystyle \mid b \mid =\frac{2\pi}{P}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}|

|\displaystyle \mid b \mid =\frac{1}{2}|

On prend |b = \frac{1}{2}| (le paramètre |b| peut être positif ou négatif, cela n'a pas d'importance).

L'équation de la fonction est donc:

|\displaystyle f(x)=5\cos\,(\frac{1}{2}(x+\frac{\pi}{2}))+5.|

Voici un deuxième exemple. Trouvez la règle de la fonction cosinus décrite par le graphique suivant :


1. On commence par trouver le déphasage et l'ordonnée moyenne (l'axe d'oscillation).

Ainsi:

|h=- \frac{\pi}{2}| et |k=\frac{7+-1}{2}=3|
 
2. On détermine la valeur de |a| en trouvant l'amplitude.

|A=\frac{\max - \min}{2}=\frac{7--1}{2}=4|

En cherchant la coordonnée des points |(h, k \pm \mid a \mid)|, on trouve que |(h, k + \mid a \mid)| n'existe pas sur la courbe alors que |(h, k - \mid a \mid)|​ est  un minimum ​de la fonction. Ainsi, la valeur de |a| est négative.​

|a=-4|
 
3. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

On mesure la longueur d'un cycle complet dans la fonction. Dans l'exemple, la période est de |4\pi|.

On calcule |b|.

|\displaystyle \mid b \mid =\frac{2\pi}{P}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}|

|\displaystyle \mid b \mid =\frac{1}{2}|

On prend |b=\frac{1}{2}| (le paramètre |b| peut être positif ou négatif, cela n'a pas d'importance).

L'équation de la fonction est donc:

|\displaystyle g(x)=-4\cos\,(\frac{1\,}{2}(x+\frac{\pi}{2}))+3.|

Lorsque l'on ne connaît pas de points pouvant jouer le rôle de |(h,k)|, il faut faire preuve de débrouillardise. En effet, il faut connaître les différentes particularités d'une fonction cosinus.

Soit une fonction sinus passant par les points |(\frac{\pi}{2},6)| et |(\pi,-2)| qui correspondent respectivement à un maximum et à un minimum successifs de la fonction.

L'ordonnée de chacun de ces deux points nous donne le maximum de la fonction et le minimum. Il est donc possible de déterminer l'amplitude de la fonction.
|\displaystyle A = \frac{\max - \min}{2} = \frac{6--2}{2}=4|

De plus, la valeur de l'ordonnée moyenne correspond à la moyenne du maximum et du minimum.
|\displaystyle k = \frac{6+-2}{2}=2|

Étant donné que l'on a un maximum et un minimum qui sont consécutifs, la différence de leur abscisse correspond à la moitié de la valeur de la période.
|\displaystyle \frac{P}{2} = \pi - \frac{\pi}{2}  = \frac{\pi}{2}|
Par conséquent, |P= \pi|.

Ceci nous permet de trouver la valeur absolue de |b|.
|\displaystyle P= \frac{2\pi}{\mid b \mid} \Rightarrow \mid b \mid = 2|

Il ne reste qu'à déterminer la valeur de |h|: c'est la valeur de l'abscisse du point|(\frac{\pi}{2},6)| donc |h=  \frac{\pi}{2}|.

De plus, comme le point de départ est un maximum la fonction est décroissante ce qui permet de conclure que |a| est positif. Ainsi, comme équation:
|f(x)=4 \cos(2(x-\frac{\pi}{2}))+2|.

 

Lorsqu’on demande de trouver l’équation d’une fonction sinusoïdale, on peut trouver l'équation d'une fonction cosinus ou l'équation d'une fonction sinus.

Par exemple, si on regarde le graphique suivant :



On pourrait écrire cette fonction selon les équations suivantes :

|f(x)=-2\sin(x)-1|
|f(x)=2\sin(-x)-1|, car |-\sin(x)=\sin(-x)|
|f(x)=2 \cos(x + \frac{\pi}{2}) - 1|, car |\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})| et |\cos(-x)=\cos(x)|
|f(x) = -2 \cos( x - \frac{\pi}{2})-1|, pour les mêmes raisons qu'à la ligne précédente.

Les vidéos
Les exercices
Les références