Mathématique m1180

Tracer une fonction cosinus dans un graphique

Pour tracer une fonction cosinus, on a besoin de trouver les 6 informations ci-bas.

1.
L’ordonnée moyenne, c’est la valeur de l’ordonnée autour de laquelle la fonction cosinus oscille. Sous la forme canonique de la fonction cosinus, elle est réprésentée par le paramètre |k|.
Ainsi, |y_{moy}=k| et cette droite horizontale correspond à l'axe d'oscillation de la fonction.

2.
L'amplitude est donnée par |\mid a \mid |. On peut trouver le maximum et la minimum de la fonction à partir de l'amplitude et du paramètre |k|.
Maximum: |k+\mid a \mid|
Minimum: |k- \mid a \mid|

On trace ensuite les droites horizontales |y=k+\mid a \mid| et |y=k-\mid a \mid|.

3.
Le déphasage, c'est le déplacement horizontal de la fonction. Sous la forme canonique de la fonction cosinus, il est représenté par le paramètre |h|.
On trace ensuite la droite verticale |x=h|.

4.
La période est la distance pour parcourir un cycle complet de la fonction (une oscillation complète).
La valeur de la période est donnée par |\displaystyle P= \frac{2\pi}{\mid b \mid}|.
On trace ensuite la droite verticale |x=h+ \text{période}|.


5
. On sépare le rectangle formé par les droites |y=k-\mid a \mid ,y=k+\mid a \mid,x=h| et |x=h+\text{période}| en 4.
Ce rectangle indique où tracer un cycle de notre fonction.

6.
La croissance de la fonction cosinus varie ainsi :
|\bullet| si |a>0| alors la fonction est décroissante à partir du point |(h,k+\mid a \mid)|.
|\bullet| si |a<0| alors la fonction est croissante à partir du point |(h,k-\mid a \mid)|.

 

On veut tracer le graphique de la fonction cosinus suivante: ||f(x)= \displaystyle  -2 \cos \left( \frac{\pi}{3} (x-1) \right)-3.||
1. L'équation de l'axe d'oscillation est |y_{moy}=-3| et on le trace.


2. L'amplitude de la fonction vaut |\mid a \mid = \mid -2 \mid =2|.
Ainsi, la fonction a pour maximum |-3+2=-1| et pour minimum |-3-2=-5|.
On trace maintenant les droites horizontales |y=-1| et |y=-5|.


3. Le déphasage de la fonction vaut |h=1|.
On trace la droite verticale |x=1|.


4.  La période de la fonction vaut:
|P = \displaystyle \frac{2\pi}{\mid b \mid} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=2\pi \times \frac{3}{\pi} = 6|.
On trace la droite verticale |x=1+6=7|.


5.  On sépare le rectangle formé par les droites |y=-1,y=-5,x=1,x=7| en 4.


6.  Le paramètre |a| étant négatif, la fonction est croissante. Elle commence donc au point |(1,-5)| qui est un minimum. On peut donc tracer la fonction.

 

On veut tracer le graphique de la fonction cosinus suivante:||\displaystyle f(x)=3\cos\left( 2(x-\frac{\pi}{2})\right)+2.||
1. L'équation de l'axe d'oscillation est |y_{moy}=2| et on le trace.


2.  L'amplitude de la fonction |\mid a \mid = \mid 3 \mid =3|.
Ainsi, la fonction a pour maximum |2+3=5| et pour minimum |2-3=-1|.
On trace maintenant les droites horizontales |y=5| et |y=-1|.


3.  Le déphasage de la fonction vaut |h=\frac{\pi}{2}|.
On trace la droite verticale |x=\frac{\pi}{2}|.


4.  La période de la fonction vaut:
|P = \displaystyle \frac{2\pi}{\mid b \mid} = \frac{2 \pi}{\pi} = \pi|.    
On trace la droite verticale |x=\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}|.


5.  On sépare le rectangle formé par les droites |y=-1,y=5, x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3 \pi}{2}| en 4.


6. Le paramètre |a| étant positif, la fonction est décroissante. Elle commence donc au point |(\frac{\pi}{2},5)| qui est un maximum. On peut donc tracer la fonction.

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