Mathématique m1181

La réciproque de la fonction cosinus (arccos)

On appelle fonction arc cosinus, notée |\arccos|, la fonction |f| dont le domaine est l'intervalle |[-1,1]| et le codomaine est l'intervalle |[0, \pi]| telle que |f(x)| est l'unique nombre réel dont le cosinus est |x|.

Remarque: On note aussi cette fonction par |\cos^{-1}| qu'il ne faut pas confondre avec |\frac{1}{\cos}|.

Il faut mentionner que la réciproque d’une fonction cosinus N’EST PAS UNE FONCTION. Pour que la réciproque de la fonction cosinus devienne une fonction, on doit limiter son domaine et son codomaine.

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction cosinus à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation |y = x|, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction cosinus soit |\arccos| ou |\cos^{-1}| (à ne pas confondre avec |\frac{1}{\cos}|).

Si on limite la fonction cosinus à l'intervalle |[-1,1]| et à l'intervalle |[0,\pi]| en |y|, alors la réciproque devient une fonction.
 

La réciproque de façon algébrique

Pour trouver la réciproque de façon algébrique, on intervertit les variables |x| et |y|. Ensuite on isole la variable dépendante |y| et on obtient ainsi la réciproque que l’on cherche.

Voici un exemple avec la fonction cosinus transformée.

 

Il ne faut pas oublier de restreindre le domaine et le codomaine de la réciproque si l'on veut qu'elle soit une fonction.
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