Mathématique m1182

La résolution de problèmes écrits de la fonction cosinus

On peut modéliser la hauteur d'une masse par rapport au sol grâce à une fonction cosinus. Cette masse est attachée à un ressort.

Voici quelques informations:

-La hauteur initiale de la masse est de 20 centimètres par rapport au sol.

-La masse met 10 secondes avant de revenir à sa hauteur initiale.

-La masse atteint une hauteur minimale de 2 centimètres par rapport au sol.

a) Déterminez l'équation de la fonction cosinus modélisant cette situation.

On doit trouver l'équation sous la forme |y=a \cos(b(x-h))+k|.

On peut tout d'abord calculer l'amplitude puisque l'on connaît la hauteur maximale de la masse (c'est sa hauteur) et la hauteur minimale de la masse.

|\text{Amplitude} = \displaystyle \frac{\max - \min}{2} = \frac{20-2}{2} = 9|

Ainsi, on connaît la valeur de |a| qui est de 9. Nous déterminerons son signe plus tard.

On peut maintenant trouver la valeur de |b| en utilisant la période (celle-ci est de 10 secondes).

|\text{Période}=\displaystyle \frac{2\pi}{\mid b \mid}|

Par conséquent, |\mid b \mid = \displaystyle \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}|.

Le paramètre |h| vaut 0 et le paramètre |k| vaut |20-9=11|.

De plus, comme la fonction est décroissante (la masse est à sa hauteur maximale au départ), alors le |a| doit être positif. On conclut donc que |a=9|.

On peut donc écrire l'équation de la fonction: |\displaystyle y=9 \cos \left( \frac{\pi}{5}x \right) + 11|.

On obtient également le graphique suivant:


b)  Durant 1 minute, pendant combien de temps la masse est-elle à une hauteur supérieure 12 centimètres par rapport au sol ?

On doit résoudre au départ l'inéquation |12 < 9\cos(\frac{\pi}{5}x) +11|.

On commence en changeant le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.

|12 = 9 \cos(\frac{\pi}{5}x)+11|
|1 = 9 \cos(\frac{\pi}{5}x)|
|\frac{1}{9} = \cos(\frac{\pi}{5}x)|

On doit utiliser la fonction arc cosinus.

On obtient alors la valeur de 1,459 radians. Par la suite, il faut aller chercher l'autre valeur en faisant |2\pi - 1,459 = 4,824| radians.

On a donc que l'angle doit être égal à 1,459 radians ou à 4,824 radians. Nous voulons les valeurs de |x|, il faut donc résoudre:
|\frac{\pi}{5}x = 1,459| et |\frac{\pi}{5}x = 4,824|.

En résolvant ces deux équations on obtient |x=2,323| et |x=7,678|.

On doit interpréter ces valeurs.

En regardant le dessin plus haut, on remarque que la masse aura une hauteur supérieure à 12 centimètres de 0 seconde à 2,323 secondes et de 7,678 secondes à 10 secondes.

Ainsi, la masse est à une hauteur supérieure à 12 centimètres par rapport au sol pendant 4,645 secondes environ.

Ceci est pour le premier cycle. En 1 minute, il s'écoule 6 cycles (la période est de 10 secondes).

On obtient la réponse finale en faisant |4,645 \times 6 = 27,87| secondes.

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