Mathématique m1183

La fonction tangente

​​Lorsque l'on s'intéresse à la valeur de la pente de la droite qui relie le centre du cercle trigonométrique à un point précis du cercle trigonométrique, on utilise la fonction tangente.

En d'autres mots, |\tan\theta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}| avec |\theta =| mesure de l'angle au centre du cercle trigonométrique.

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|\bullet| Les droites pointillées correspond aux asymptotes de la fonction tangente de base. Les équations des deux asymptotes en rouge sont |x= -\frac{\pi}{2}| et |x=\frac{\pi}{2}|.
|\bullet| La période de la fonction tangente de base est |\pi| radians.
|\bullet| Le point |(0,0)| est le point d'inflexion de la fonction.

Cette fiche traite de la fonction tangente et du rôle de quelques paramètres. Pour en savoir plus, vous pouvez consulter les fiches suivantes.

La fonction tangente transformée

La fonction tangente sous la forme canonique s'écrit de la façon suivante: ||f(x)=a \tan(b(x-h))+k||où
|b|: Ce paramètre vaut |\frac{\pi}{\text{période}}| (faire attention au signe).
|h|: Le paramètre |h| correspond au déphasage de la fonction.
|k|: Le paramètre |k| correspond à un déplacement vertical de la fonction.
Le point |(h,k)| correspond au point d'inflexion de la fonction.
Les paramètres |a| et |b| sont non nuls.

Paramètres de la fonction tangente

La période

La période est la distance qui sépare deux asymptotes consécutives.
On trouve la période de la fonction à partir de la formule suivante :
|\displaystyle P= \frac{\pi}{\mid b \mid}|.
 
Ainsi, on peut trouver la valeur de |b| en l'isolant dans la formule ce qui donne :
| \displaystyle \mid b \mid = \frac{\pi}{P}|.

Ensuite, on ajuste le signe de |b|.

Le déphasage

Le déphasage est le déplacement horizontal du point d'origine |(0,0)| de la fonction de base. On le représente par la lettre |h| dans la fonction tangente sous la forme canonique. Les asymptotes se déplacent également de |h| unités.


Paramètre |k|

Le paramètre |k| correspond au déplacement vertical du point d'origine |(0,0)| de la fonction de base.

 

Les asymptotes d'une fonction tangente

Les asymptotes de la fonction tangente sont des droites verticales. Comme la fonction tangente est une fonction périodique, le cycle (motif) se répète indéfiniment. Il y a donc une infinité d'asymptotes qui sont définies par une équation de la forme : |\displaystyle x = (h + \frac{P}{2}) + n\cdot P| où |n \in \mathbb{Z}| et |P| est la période de la fonction. La distance qui sépare les asymptotes vaut |P|.

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