Mathématique m1185

La recherche de la règle d'une fonction tangente

Voici deux cas pour trouver l'équation d'une fonction tangente:

L'équation d'une fonction tangente s'écrit:||f(x)=a\tan\,(b(x-h))+k.||

Pour trouver la règle d’une fonction tangente, il faut toujours trouver les informations suivantes: l'amplitude, la période, le déplacement vertical et le déphasage.

Cas où |(h,k)| est connu

1. On commence par trouver le déphasage (|h|) et la valeur du paramètre |k|.

2. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.

3. On détermine la valeur de |a|.

À partir du graphique suivant, trouver l'équation de la fonction tangente.


1. On commence par trouver les valeurs de |h| et |k|.

Le point d'inflexion de cette fonction est situé à |(\frac{\pi}{4},3)|. Ainsi, la valeur de |h| sera de |+\frac{\pi}{4}| et la valeur de |k| sera de +3.

2. On détermine la période pour trouver la valeur de |b|.


|\displaystyle \mid b \mid = \frac{\pi}{\text{période}} = \frac{\pi}{2\pi}= \pm \frac{1}{2}|

Avec l'allure du graphique, on détermine que le paramètre |b| est positif.

3. On détermine la valeur de |a|. Si nous avons les coordonnées précises d’un point sur le graphique nous pouvons trouver la valeur du paramètre |a|.



L'équation de la fonction est donc:

|f(x)=2\tan(\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4}))+3.|

 

Cas où 2 points quelconques et des asymptotes consécutives sont connus

1. Déterminer la valeur de la période avec les deux asymptotes connues.

2. Avec la période, trouver la valeur de |\mid b \mid|. Si possible, déterminer son signe.

3. Déterminer la valeur du paramètre |h|.

4. Bâtir un système d'équations avec |a| et |k|.

5. Résoudre le système précédent grâce à la méthode de comparaison.

 

Trouvez l'équation de la fonction tangente passant par les points |(0,1.455)| et |(-3,3.557)|. De plus, |x=-1-\pi| et |x=-1+\pi| sont les équations de deux asymptotes consécutives.

1. La différence entre les deux abscisses des asymptotes donne la valeur de la période.
|P = (-1+\pi)-(-1-\pi) = 2\pi|

2. Connaissant la période, il est possible de trouver la valeur absolue de |b|.
|\displaystyle \mid b \mid = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}|

De plus, la fonction est décroissante puisque lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées diminuent. En effet, il suffit de regarder les coordonnées des deux points donnés.

Quand une fonction tangente est décroissante, cela signifie que le produit |a \cdot b| est négatif. On peut choisir de prendre une valeur positive pour |b| et ainsi ce sera la valeur de |a| qui sera négative.

Ainsi, |b = \frac{1}{2}|.

3. La valeur du paramètre |h| se détermine en faisant la moyenne des abscisses des asymptotes.
|\displaystyle h = \frac{-1+\pi + -1-\pi}{2} = -\frac{2}{2}=-1|

4. On bâtit un système d'équations en remplaçant ce que l'on connaît dans deux équations.
|3.557=a\tan(\frac{1}{2}(-3+1))+k|
|1.455=a\tan(\frac{1}{2}(0+1))+k|

5. On isole |k| dans les deux équations puis on applique la méthode de comparaison.
|\small 3.557=a\tan(\frac{1}{2}(-3+1)+k \rightarrow 3.557 =-1.557a + k \rightarrow 3.557+1.557a=k|
|\small 1.455=a\tan(\frac{1}{2}(0+1))+k \rightarrow 1.455 =0.546a + k \rightarrow 1.455-0.546a=k|

On passe à la méthode de comparaison:
|3.557+1.557a=1.455-0.546a|
|2.102+1.557a=-0.546|
|2.102=-2.103a|
|-1 \approx a|

On remplace |a| dans l'une des deux équations pour trouver |k|.
|3.557+1.557 \cdot -1 = 2 = k|

L'équation de la fonction est |f(x)=-\tan(\frac{1}{2}(x+1))+2|.

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