Mathématique m1187

La réciproque de la fonction tangente (arctan)

On appelle fonction arc tangente, notée |\arctan|, la fonction |f| dont le domaine est |\mathbb{R}| et le codomaine est l'intervalle |]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[| telle que |f(x)| est l'unique nombre réel dont la tangente est |x|.

Remarque: On note aussi cette fonction par |\tan^{-1}| qu'il ne faut pas confondre avec |\frac{1}{\tan}|.

La réciproque d'une fonction tangente N'EST PAS UNE FONCTION, pour qu'elle le devienne on doit limiter son domaine et son codomaine.

Il y a deux façons pour trouver la réciproque d'une fonction tangente.

Déterminer la réciproque d'une fonction tangente à l'aide de la méthode graphique

Afin de déterminer la réciproque d'une fonction tangente à l'aide de la méthode graphique, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Tracer la fonction dont on veut déterminer la réciproque dans un plan cartésien.

2. Tracer la droite |y = x|.

3. Tracer la réciproque de la fonction tangente en effectuant une réflexion de la fonction tangente par rapport à la droite |y = x|.


Tracez la réciproque de la fonction |y = \tan (0,5(x - 3)) - 2| .

1.  Tracer la fonction dont on souhaite déterminer la réciproque.


2.  On ajoute la droite |y = x|.


3.  On effectue la réflexion de la fonction tangente par rapport à la droite |y = x|.

Déterminer la réciproque d'une fonction tangente à l'aide de la méthode algébrique

Afin de déterminer la réciproque d'une fonction tangente à l'aide de la méthode algébrique, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Intervertir les variables |x| et |y| dans la fonction tangente dont on veut déterminer la réciproque.

2. Isoler la variable |y|.

 

On souhaite déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction tangente suivante.

|y = \tan (0,5(x - 3)) - 2|

1.  Intervertir les variables |x| et |y|.
|x = \tan (0,5(y - 3)) - 2|

2.  Isoler la variable y.

|x + 2 = \tan (0,5(y - 3))|

On élimine la fonction tangente grâce à l'arctangente.

|\arctan (x + 2) = 0,5(y - 3)|

|\frac{\arctan(x+2)}{0,5}= (y - 3)|         ou         |2\arctan (x + 2) = y - 3|

|y = 2\arctan (x + 2) + 3|

La réciproque recherchée est |y = 2\arctan (x + 2) + 3.|

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