Mathématique m1188

La résolution de problèmes de la fonction tangente


Lorsqu'on doit résoudre un problème qui contient une ou plusieurs fonctions tangente, on peut suivre les étapes suivantes:

1.  Poser l'équation représentant la situation sous la forme y = a|\cdot|tan(b(x - h)) + k.

2.  Poser l'équation à résoudre en remplaçant le "x" ou le "y" de l'équation obtenue à l'étape précédente par une valeur connue.

3.  Résoudre l'équation précédente, soit à l'aide de la méthode algébrique, soit à l'aide de la méthode graphique.

La représentation et résolution graphique d'équations

De façon plus précise, on peut résoudre graphiquement une équation de la façon suivante:

  • Poser l'équation à résoudre sous la forme y = a|\cdot|tan(b(x - h)) + k.

  • Tracer le graphique de l'équation tangentielle représentant la situation (l'équation sous la forme   y= a|\cdot|tan(b(x - h)) + k);

  • Tracer une droite horizontale ou verticale (selon le cas) sur le graphique précédent représentant la valeur connue.

  • Déterminer approximativement un point d'intersection des deux courbes présentes sur le graphique. La valeur de "x" ou de "y" recherchée sera l'une des coordonnées du point d'intersection des deux courbes.

  • Ne pas oublier que la fonction tangente est périodique. Si la valeur obtenue est une valeur en "x", d'autres solutions existent. Il faut ajouter ou soustraire à la solution obtenue un multiple entier de la période pour obtenir les autres solutions.

Une fonction tangentielle suit la règle y = 3tan(2(x - 4)) + 3. Lorsque y = 2, quelles sont les valeur de "x" possibles?

1. Poser l'équation à résoudre

On cherche les valeurs possibles de x lorsque y vaut 2. On remplace donc y par 2 dans l'équation précédente.

2 = 3tan(2(x - 4)) + 3.

2. Tracer le graphique de l'équation y = 3tan(2(x - 4)) + 3

On obtient le graphique suivant:


3. Tracer une droite représentant la valeur connue
Dans ce cas-ci, on recherche les valeurs de x lorsque y = 2. Il faut donc tracer y = 2 sur le graphique précédent:


4.  Déterminer approximativement un point d'intersection des deux courbes

Les courbes se croisent approximativement au point (0,7 ; 2).
0,7 est donc une valeur (approximative) où la fonction est égale à 2.

5.  Déterminer les autres solutions

La période de cette fonction est égale à

Comme b = 2 (voir l'équation donnée dans la question), la période doit être égale à


Afin de tenir compte de toutes les solutions possibles, on doit additionner et soustraire des multiples de la période à la première solution.

où n est un nombre entier.

Ceci est le résultat (approximatif) recherché.

La résolution algébrique d'équations

Afin de résoudre une équation tangentielle, on peut suivre les étapes suivantes:

  • Poser l'équation à résoudre en remplaçant le "x" ou le "y" de l'équation obtenue à l'étape précédente par une valeur connue.
  • Isoler x
  • Additionner ou soustraire des multiples de la période afin d'obtenir la plus petite solution positive
  • Rechercher les autres solutions à l'aide de la période.

Refaire l'exemple 1 à l'aide de la méthode algébrique puis comparer les résultats obtenus.

1.  Poser l'équation à résoudre

On recherche les valeurs de x possibles lorsque y = 2. On remplace donc y par 2 dans l'équation précédente:

2 = 3tan(2(x - 4)) + 3

2.  Isoler x

2 = 3tan(2(x - 4)) + 3

-1 = 3tan(2(x - 4))

-1/3 = tan(2(x - 4)

arctan(-1/3) = 2(x - 4)

Le côté gauche de l'équation est approximativement égal à -0,3218.

-0,3218 = 2(x - 4)

-0,1609 = x - 4

x = 3,8391

3. Déterminer la plus petite solution positive

On sait que la période de cette fonction est égale à

car le paramètre b est égal à 2.

On soustrait deux périodes et on obtient

x = 0,6975.

4. Rechercher les autres solutions à l'aide de la période
On obtient la solution suivante:

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