Mathématique m1242

La relation d'Euler

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​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Puisque les polyèdres sont une sous-catégorie des solides, ils possèdent certaines de leurs caractéristiques​. Plus précisément, il est possible de définir les polyèdres selon des arêtes, des sommets et des faces. Par ailleurs, il est possible de mettre en relation chacun de ces concepts.​

La relation d'Euler

Plus précisément, cette relation mathématique permet de mettre en relation le nombre d'arêtes, de faces et de sommets d'un polyèdre. Pour la reconnaître, elle est nommée selon le mathématicien qui en est le créateur: la relation d'Euler.

Cette relation concerne uniquement les polyèdres et non les corps ronds​ (cylindre, cône, sphère, etc.).  En fait, leur surface courbe fait en sorte qu'ils ne sont pas touchés par la relation d'Euler.​​

Puisque cette relation est basée sur le caractère quantitatif des sommets, des arêtes et des faces, on peut la résumer par cette formule:​

​||S + F - 2 = A||
avec |\begin{align} S &= \text{nb de sommets}\\
F &= \text{nb de faces}\\
A &= \text{nb d'arêtes}\end{align}|

​Pour déterminer chacune des quantités, il s'agit de les dénombrer en analysant le polyèdre avec lequel on travaille.

​Utilise la relation d'Euler afin de calculer le nombre d'arêtes de cette pyramide droite à base pentagonale.Selon la relation d'Euler: ​
m1242i11.PNG 
||\begin{align} \color{blue}{S} + \color{red}{F} - 2 &= A\\
\color{blue}{6} + \color{red}{6} - 2 &= A\\
10 &= A\end{align}||​
Cette pyramide possède 10 arêtes.​

​Malgré son allure assez simpliste, cette relation peut s'écrire de plusieurs différentes façons. Pour les déterminer, on doit faire quelques manipulations algébriques.

||\begin{align} S + F - 2 &= A \\
 S + F &= A + 2\end{align}||
Dans le cas présent, c'est simplement le |2| qui a changé de côté de l'égalité. 
||\begin{align} S + F - 2 &= A\\
S + F - 2 \color{red}{+ 2} &= A \color{red}{+ 2}\\
S + F  &= A + 2\end{align}||

Son utilisation pour les différents polyèdres

Même si cette relat​ion n'est vraie que pour les polyèdres, il ne faut pas oublier qu'​il existe plusieurs types de polyèdres. En d'autres mots, on peut utiliser cette relation autant pour les polyèdres convexes que pour les polyèdres non convexes.

Polyèdres convexes
m1242i12.PNG
Polyèdres non convexes
m1242i13.PNG

​​Réinvestissement de la relation d'Euler

Aussitôt que l'on possède deux des trois quantités présentes dans la relation d'Euler, il est possible de déterminer la quantité manquante avec quelques opérations arithmétiques.

Détermine le nombre de sommets d'un prisme à 6 faces et 12 arêtes.

1) Déterminer si la relation d'Euler peut s'appliquer
Puisqu'il est question d'un prisme et que tous les prismes sont des polyèdres, alors on peut utiliser la relation d'Euler.

2) Appliquer la formule
En utilisant les informations données, on remplace les variables par leur quantité respective.
||\begin{align} S + F - 2 &= A\\
S + 6 - 2 &= 12\\
S + 4 &= 12\end{align}||
​3) Trouver la valeur manquante
Selon la dernière équation, on cherche un nombre qui,​​ additionné de quatre, va donner un total de 12. Si on pose que |\color{green}{S = 8}|, alors on obtient l'égalité suivante:
||\begin{align}\color{green}{S} + 4 &= 12\\
\color{green}{8} + 4 &= 12\\
12 &= 12\end{align}||​​
4) Interpréter la réponse
​Ce prisme contient |\color{green}{8}| sommets.​​

​Pour ce qui est de trouver le nombre de faces selon le nombre d'arêtes et el nombre de sommets, on peut procéder en suivant les mêmes étapes que celles présentées plus haut. ​

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