Mathématique m1247

La recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme |y=ax^2|

On prend un point |(x,y)| différent du sommet et on le met dans l'équation. Ensuite, on isole le paramètre |a|.

Si l'on veut utiliser la règle sous la forme |y=a(bx)^2|, il suffit de prendre |b=1|.

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale du second degré passant par le point |(-3 \ ; 40,5)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|40,5=a(-3)^2|
|40,5=9a|
|\displaystyle \frac{40,5}{9} = 4,5 =a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=4,5x^2|.

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale du second degré passant par le point |(1,5 \ ; -11,25)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|-11,5=a(1,5)^2|
|-11,5=2,25a|
|\displaystyle -\frac{11,5}{2,25}=-5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-5x^2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : un point et le sommet 

Lorsqu'on connait le sommet de la fonction ainsi qu'un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme canonique.

1. Remplacer les valeurs de |h| et |k| dans l'équation par les coordonnées du sommet.

2. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du point.

3. Isoler le paramètre |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré dont le sommet est le point |(4,6)| et passant par le point |(2,-2)|.

1. On remplace |h| par 4 et |k| par 6 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-4)^2+6|

2. On remplace |x| par 2 et |y| par -2 dans l'équation.
|y=a(x-4)^2+6 \rightarrow -2 = a(2-4)^2+6|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-2=a(2-4)^2+6|
|-2=a(-2)^2+6|
|-2=4a+6|
|-8=4a|
|-2=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-2(x-4)^2+6|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré dont le sommet est le point |(-1,2)| et passant par le point |(3,26)|.

1. On remplace |h| par -1 et |k| par 2 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-(-1))^2+2 \rightarrow y=a(x+1)^2+2|

2. On remplace |x| par 3 et |y| par 26 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+1)^2+2 \rightarrow 26=a(3+1)^2+2|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|26=a(3+1)^2+2|
|26=a(4)^2+2|
|26=16a + 2|
|24=16a|
|1,5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1,5(x+1)^2+2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : deux zéros et un point

Lorsqu'on connait les deux zéros de la fonction et un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme factorisée.

1. Remplacer |x_1| et |x_2| dans la forme factorisée, |y=a(x-x_1)(x-x_2)|, par leur valeur respective.

2. Remplacer |x| et |y| dans la forme factorisée par leur valeur respective.

3. Isoler le paramètre |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré ayant -3 et 8 comme zéros et passant par le point |(5,-24)|.

1. On remplace |x_1| par -3 et |x_2| par 8 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-3))(x-8) \rightarrow y=a(x+3)(x-8)|

2. On remplace |x| par 5 et |y| par -24 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+3)(x-8) \rightarrow -24=a(5+3)(5-8)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-24=a(5+3)(5-8)|
|-24=a(8)(-3)|
|-24=-24a|
|1=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1(x+3)(x-8)|.

Il est rare que l'on garde la règle d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée.
Généralement, on la ramènera sous la forme générale.

Trouvez la règle en forme générale de la parabole passant par les points |(-2,0)|, |(7,18)| et |(3,0)|.

Il est primordial de remarquer que les points |(-2,0)| et |(3,0)| correspondent aux zéros de la fonction. Ainsi, il faut utiliser la forme factorisée.

1. On remplace |x_1| par -2 et |x_2| par 3 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme générale.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-2))(x-3) \rightarrow y=a(x+2)(x-3)|

2. On remplace |x| par 7 et |y| par 18 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+2)(x-3) \rightarrow 18=a(7+2)(7-3)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|18=a(7+2)(7-3)|
|18=a(9)(4)|
|18=36a|
|0,5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=0,5(x+2)(x-3)|.

Comme on veut avoir la règle en forme générale, il faut développer l'équation :
||\begin{align}y &= 0,5(x^2-3x+2x-6)\\ y &= 0,5x^2-0,5x-3 \end{align}||
En forme générale, la règle de la fonction est : |y = 0,5x^2-0,5x-3|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : deux points de même ordonnée

Cas 1: lorsqu'il est possible de déterminer les coordonnées du sommet

Lorsqu'on connait deux points d'une parabole ayant la même valeur de |y| dans le plan cartésien, on peut calculer l'abscisse du sommet, car une parabole possède un axe de symétrie (|x = h|). La valeur de |h| équivaut donc à la moyenne des abscisses de ces deux points. On doit donc utiliser la forme canonique.

1. Calculer la valeur de |h| à l'aide de la formule |h=\frac{x_1+x_2}{2}| où |x_1| et |x_2| sont les abscisses des deux points qui ont la même ordonnée. 

2. Vérifier dans la table de valeurs (ou dans le graphique) si la valeur du |h| trouvée à l'étape 1 est présente. Si oui, ce point est le sommet. Si non, se référer au cas 2.

3. Remplacer le |h| et le |k| dans la forme canonique, |y=a(x-h)^2+k|. 

4. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées d'un point différent du sommet et isoler le |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 représentée dans le plan cartésien ci-dessous.

1. Calculer la valeur de |h|.
On remarque que les points |(-4, 4)| et |(2, 4)| ont la même ordonnée. On peut donc calculer |h| à partir de leurs abscisses. ||h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4+2}{2} = -1||
2. Vérifier dans la table de valeurs si la valeur du |h| trouvée à l'étape 1 est présente. Si oui, ce point est le sommet.
On observe que la valeur de |h| trouvée est présente dans la table de valeurs. On en déduit que |(-1, 5)| est le sommet de la parabole. Donc, |k=-5|

3. Remplacer le |h| et le |k| dans la forme canonique.
||\begin{align}y &= a(x-\color{blue}{h})^2+\color{red}{k}\\y &= a(x \color{blue}{+1})^2 \color{red}{-5} \end{align}||
4. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées d'un point différent du sommet, puis isoler |a|.
Prenons le point |(0, -4)|.
||\begin{align}y &= a(x +1)^2 -5 \\ -4 &= a(0+1)^2-5\\1 &= a \end{align}||
Ainsi, l'équation de la fonction est : |y=1(x+1)^2-5|. 

Cas 2 : lorsqu'il n'est pas possible de déterminer les coordonnées du sommet

1. Calculer la valeur de |h| à l'aide de la formule |h=\frac{x_1+x_2}{2}| où |x_1| et |x_2| sont les abscisses des deux points qui ont la même ordonnée.

2. Remplacer |h| dans la forme canonique, |y=a(x-h)^2+k|, par la valeur calculée à l'étape 1. 

3. Substituer |x| et |y| par un des deux points déjà utilisés et par le 3e point fourni pour créer un système d'équations.

4. Déterminer la valeur du paramètre |a| à l'aide de la méthode de comparaison.

5. Calculer le paramètre |k|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 représenté dans le plan cartésien ci-dessous.
m1247-01.png

1. Calculer la valeur de |h|.
||h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4+12}{2} = 4||
2. Remplacer |h| dans la forme canonique.
||\begin{align}y &= a(x-\color{blue}{h})^2+k\\y &= a(x-\color{blue}{4})^2+k \end{align}||
3. Substituer |x| et |y| par un des deux points déjà utilisés et par le 3e point fourni pour créer un système d'équations.
||\begin{align} &\text{premier couple : }(-4, 10) && \text{deuxième couple : }(10 \ ; \ 13,5) \\&y = a(x-4)^2+k && y = a(-4-4)^2+k \\\\&10 = a(x-4)^2+k && 13,5 = a(10-4)^2+k && \text{substituer }«x» \text{ et } «y» \\\\&10-k =64a && 13,5-k=36a\\\\ &10-64a =k && 13,5-36a = k && \text{isoler } «k»\end{align}||
4. Déterminer la valeur du paramètre |a| à l'aide de la méthode de comparaison.
||\begin{align} k &= k\\10-64a &= 13,5-36a\\10_{\color{red}{-13,5}}-64a_{\color{blue}{+64a}} &= 13,5_{\color{red}{-13,5}}-36a_{\color{blue}{+64a}}\\-3,5 &= 28a\\ \frac{\text{-}3,5}{28}=\frac{\text{-}1}{8} &= a\end{align}||
5. Calculer le paramètre |k|.

|k=10-64a=10-64\left(\frac{\text{-}1}{8}\right)=10+8=18|
|k=13,5-36a=13,5-36\left(\frac{\text{-}1}{8}\right)=13,5+4,5=18|

Ainsi, l'équation de la fonction est : |y=\frac{\text{-}1}{8}(x-4)^2+18|. 

Remarque : Dans l'exemple précédent, au lieu d'isoler |k| pour déterminer la valeur de |a| par la méthode de comparaison, il aurait également été possible de faire le contraire, c'est-à-dire isoler |a| pour calculer |k| à l'aide de la comparaison. Évidemment, le résultat final serait le même.

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Les exercices
Les références