Mathématique m1247

La recherche de la règle d'une fonction polynomiale du second degré

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme |y=ax^2|

On prend un point |(x,y)| différent du sommet et on le met dans l'équation. Ensuite, on isole le paramètre |a|.

 

Si l'on veut utiliser la règle sous la forme |y=a(bx)^2|, il suffit de prendre |b=1|.

 

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale du second degré passant par le point |(-3,40.5)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|40.5=a(-3)^2|
|40.5=9a|
|\displaystyle \frac{40.5}{9} = 4.5 =a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=4.5x^2|.

 

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale du second degré passant par le point |(1.5,-11.25)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|-11.5=a(1.5)^2|
|-11.5=2.25a|
|\displaystyle -\frac{11.5}{2.25}=-5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-5x^2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale du second degré : un point et le sommet 

Lorsque l'on connaît le sommet de la fonction ainsi qu'un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme canonique.

1. Remplacer les valeurs de |h| et |k| dans l'équation par les coordonnées du sommet.

2. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du point.

3. Isoler le paramètre |a|.

 

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré dont le sommet est le point |(4,6)| et passant par le point |(2,-2)|.

1. On remplace |h| par 4 et |k| par 6 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-4)^2+6|

2. On remplace |x| par 2 et |y| par -2 dans l'équation.
|y=a(x-4)^2+6 \rightarrow -2 = a(2-4)^2+6|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-2=a(2-4)^2+6|
|-2=a(-2)^2+6|
|-2=4a+6|
|-8=4a|
|-2=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-2(x-4)^2+6|.

 

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré dont le sommet est le point |(-1,2)| et passant par le point |(3,26)|.

1. On remplace |h| par -1 et |k| par 2 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-(-1))^2+2 \rightarrow y=a(x+1)^2+2|

2. On remplace |x| par 3 et |y| par 26 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+1)^2+2 \rightarrow 26=a(3+1)^2+2|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|26=a(3+1)^2+2|
|26=a(4)^2+2|
|26=16a + 2|
|24=16a|
|1.5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1.5(x+1)^2+2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale du second degré : deux zéros et un point

Lorsqu'on connaît les deux zéros de la fonction et un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme factorisée.

1. Remplacer |x_1| et |x_2| dans la forme factorisée, |y=a(x-x_1)(x-x_2)|, par leur valeur respective.

2. Remplacer |x| et |y| dans la forme factorisée par leur valeur respective.

3. Isoler le paramètre |a|.

 

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale du second degré ayant -3 et 8 comme zéros et passant par le point |(5,-24)|.

1. On remplace |x_1| par -3 et |x_2| par 8 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-3))(x-8) \rightarrow y=a(x+3)(x-8)|

2. On remplace |x| par 5 et |y| par -24 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+3)(x-8) \rightarrow -24=a(5+3)(5-8)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-24=a(5+3)(5-8)|
|-24=a(8)(-3)|
|-24=-24a|
|1=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1(x+3)(x-8)|.

 

Il est rare que l'on garde la règle d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme factorisée.
Généralement, on la ramènera sous la forme générale.

 

Trouvez la règle de la parabole passant par les points |(-2,0), (7,18)| et |(3,0)|.

Il est primordial de remarquer que les points |(-2,0)| et |(3,0)| correspond aux zéros de la fonction. Ainsi, il faut utiliser la forme factorisée.

1. On remplace |x_1| par -2 et |x_2| par 3 dans l'équation de la fonction polynomiale du second degré sous la forme générale.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-2))(x-5) \rightarrow y=a(x+2)(x-3)|

2. On remplace |x| par 7 et |y| par 18 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+2)(x-3) \rightarrow 18=a(7+2)(7-3)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|18=a(7+2)(7-3)|
|18=a(9)(4)|
|18=36a|
|0.5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=0.5(x+2)(x-3)|.

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Les exercices
Les références