Mathématique m1247

La recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme |y=ax^2|

On prend un point |(x,y)| différent du sommet et on le met dans l'équation. Ensuite, on isole le paramètre |a|.

Si l'on veut utiliser la règle sous la forme |y=a(bx)^2|, il suffit de prendre |b=1|.

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale de degré 2 passant par le point |(-3 \ ; 40,5)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|40,5=a(-3)^2|
|40,5=9a|
|\displaystyle \frac{40,5}{9} = 4,5 =a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=4,5x^2|.

Trouvez l'équation sous la forme |y=ax^2| de la fonction polynomiale de degré 2 passant par le point |(1,5 \ ; -11,25)|.

Il suffit de remplacer |x| et |y| dans l'équation de la fonction par les valeurs du point donné.
|-11,5=a(1,5)^2|
|-11,5=2,25a|
|\displaystyle -\frac{11,5}{2,25}=-5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-5x^2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : un point et le sommet 

Lorsqu'on connait le sommet de la fonction ainsi qu'un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme canonique.

1. Remplacer les valeurs de |h| et |k| dans l'équation par les coordonnées du sommet.

2. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées du point.

3. Isoler le paramètre |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 dont le sommet est le point |(4,6)| et passant par le point |(2,-2)|.

1. On remplace |h| par 4 et |k| par 6 dans l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-4)^2+6|

2. On remplace |x| par 2 et |y| par -2 dans l'équation.
|y=a(x-4)^2+6 \rightarrow -2 = a(2-4)^2+6|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-2=a(2-4)^2+6|
|-2=a(-2)^2+6|
|-2=4a+6|
|-8=4a|
|-2=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=-2(x-4)^2+6|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 dont le sommet est le point |(-1,2)| et passant par le point |(3,26)|.

1. On remplace |h| par -1 et |k| par 2 dans l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 sous la forme canonique.
|y=a(x-h)^2+k \rightarrow y=a(x-(-1))^2+2 \rightarrow y=a(x+1)^2+2|

2. On remplace |x| par 3 et |y| par 26 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+1)^2+2 \rightarrow 26=a(3+1)^2+2|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|26=a(3+1)^2+2|
|26=a(4)^2+2|
|26=16a + 2|
|24=16a|
|1,5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1,5(x+1)^2+2|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : deux zéros et un point

Lorsqu'on connait les deux zéros de la fonction et un autre point par lequel elle passe, il faut utiliser la forme factorisée.

1. Remplacer |x_1| et |x_2| dans la forme factorisée, |y=a(x-x_1)(x-x_2)|, par leur valeur respective.

2. Remplacer |x| et |y| dans la forme factorisée par leur valeur respective.

3. Isoler le paramètre |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 ayant -3 et 8 comme zéros et passant par le point |(5,-24)|.

1. On remplace |x_1| par -3 et |x_2| par 8 dans l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 sous la forme factorisée.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-3))(x-8) \rightarrow y=a(x+3)(x-8)|

2. On remplace |x| par 5 et |y| par -24 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+3)(x-8) \rightarrow -24=a(5+3)(5-8)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|-24=a(5+3)(5-8)|
|-24=a(8)(-3)|
|-24=-24a|
|1=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=1(x+3)(x-8)|.

Il est rare que l'on garde la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme factorisée.
Généralement, on la ramènera sous la forme générale.

Trouvez la règle en forme générale de la parabole passant par les points |(-2,0)|, |(7,18)| et |(3,0)|.

Il est primordial de remarquer que les points |(-2,0)| et |(3,0)| correspondent aux zéros de la fonction. Ainsi, il faut utiliser la forme factorisée.

1. On remplace |x_1| par -2 et |x_2| par 3 dans l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 sous la forme générale.
|\small y=a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow y=a(x-(-2))(x-3) \rightarrow y=a(x+2)(x-3)|

2. On remplace |x| par 7 et |y| par 18 dans l'équation de la fonction.
|y=a(x+2)(x-3) \rightarrow 18=a(7+2)(7-3)|

3. Il ne reste qu'à isoler le paramètre |a|.
|18=a(7+2)(7-3)|
|18=a(9)(4)|
|18=36a|
|0,5=a|

Ainsi, l'équation de la fonction est |y=0,5(x+2)(x-3)|.

Comme on veut avoir la règle en forme générale, il faut développer l'équation :
||\begin{align}y &= 0,5(x^2-3x+2x-6)\\ y &= 0,5x^2-0,5x-3 \end{align}||
En forme générale, la règle de la fonction est : |y = 0,5x^2-0,5x-3|.

Recherche de la règle d'une fonction polynomiale de degré 2 : deux points de même ordonnée

Cas 1: lorsqu'il est possible de déterminer les coordonnées du sommet

Lorsqu'on connait deux points d'une parabole ayant la même valeur de |y| dans le plan cartésien, on peut calculer l'abscisse du sommet, car une parabole possède un axe de symétrie (|x = h|). La valeur de |h| équivaut donc à la moyenne des abscisses de ces deux points. On doit donc utiliser la forme canonique.

1. Calculer la valeur de |h| à l'aide de la formule |h=\frac{x_1+x_2}{2}| où |x_1| et |x_2| sont les abscisses des deux points qui ont la même ordonnée. 

2. Vérifier dans la table de valeurs (ou dans le graphique) si la valeur du |h| trouvée à l'étape 1 est présente. Si oui, ce point est le sommet. Si non, se référer au cas 2.

3. Remplacer le |h| et le |k| dans la forme canonique, |y=a(x-h)^2+k|. 

4. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées d'un point différent du sommet et isoler le |a|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 représentée dans le plan cartésien ci-dessous.

1. Calculer la valeur de |h|.
On remarque que les points |(-4, 4)| et |(2, 4)| ont la même ordonnée. On peut donc calculer |h| à partir de leurs abscisses. ||h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4+2}{2} = -1||
2. Vérifier dans la table de valeurs si la valeur du |h| trouvée à l'étape 1 est présente. Si oui, ce point est le sommet.
On observe que la valeur de |h| trouvée est présente dans la table de valeurs. On en déduit que |(-1, 5)| est le sommet de la parabole. Donc, |k=-5|

3. Remplacer le |h| et le |k| dans la forme canonique.
||\begin{align}y &= a(x-\color{blue}{h})^2+\color{red}{k}\\y &= a(x \color{blue}{+1})^2 \color{red}{-5} \end{align}||
4. Remplacer |x| et |y| dans l'équation par les coordonnées d'un point différent du sommet, puis isoler |a|.
Prenons le point |(0, -4)|.
||\begin{align}y &= a(x +1)^2 -5 \\ -4 &= a(0+1)^2-5\\1 &= a \end{align}||
Ainsi, l'équation de la fonction est : |y=1(x+1)^2-5|. 

Cas 2 : lorsqu'il n'est pas possible de déterminer les coordonnées du sommet

1. Calculer la valeur de |h| à l'aide de la formule |h=\frac{x_1+x_2}{2}| où |x_1| et |x_2| sont les abscisses des deux points qui ont la même ordonnée.

2. Remplacer |h| dans la forme canonique, |y=a(x-h)^2+k|, par la valeur calculée à l'étape 1. 

3. Substituer |x| et |y| par un des deux points déjà utilisés et par le 3e point fourni pour créer un système d'équations.

4. Déterminer la valeur du paramètre |a| à l'aide de la méthode de comparaison.

5. Calculer le paramètre |k|.

Trouvez l'équation de la fonction polynomiale de degré 2 représenté dans le plan cartésien ci-dessous.
m1247-01.png

1. Calculer la valeur de |h|.
||h = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{-4+12}{2} = 4||
2. Remplacer |h| dans la forme canonique.
||\begin{align}y &= a(x-\color{blue}{h})^2+k\\y &= a(x-\color{blue}{4})^2+k \end{align}||
3. Substituer |x| et |y| par un des deux points déjà utilisés et par le 3e point fourni pour créer un système d'équations.
||\begin{align} &\text{premier couple : }(-4, 10) && \text{deuxième couple : }(10 \ ; \ 13,5) \\&y = a(x-4)^2+k && y = a(-4-4)^2+k \\\\&10 = a(x-4)^2+k && 13,5 = a(10-4)^2+k && \text{substituer }«x» \text{ et } «y» \\\\&10-k =64a && 13,5-k=36a\\\\ &10-64a =k && 13,5-36a = k && \text{isoler } «k»\end{align}||
4. Déterminer la valeur du paramètre |a| à l'aide de la méthode de comparaison.
||\begin{align} k &= k\\10-64a &= 13,5-36a\\10_{\color{red}{-13,5}}-64a_{\color{blue}{+64a}} &= 13,5_{\color{red}{-13,5}}-36a_{\color{blue}{+64a}}\\-3,5 &= 28a\\ \frac{\text{-}3,5}{28}=\frac{\text{-}1}{8} &= a\end{align}||
5. Calculer le paramètre |k|.

|k=10-64a=10-64\left(\frac{\text{-}1}{8}\right)=10+8=18|
|k=13,5-36a=13,5-36\left(\frac{\text{-}1}{8}\right)=13,5+4,5=18|

Ainsi, l'équation de la fonction est : |y=\frac{\text{-}1}{8}(x-4)^2+18|. 

Remarque : Dans l'exemple précédent, au lieu d'isoler |k| pour déterminer la valeur de |a| par la méthode de comparaison, il aurait également été possible de faire le contraire, c'est-à-dire isoler |a| pour calculer |k| à l'aide de la comparaison. Évidemment, le résultat final serait le même.

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Les exercices
Les références