Mathématique m1250

Les propriétés de la fonction sinus (cosinus)

Propriétés Fonction sous la forme canonique Exemple
Règles |f(x)=a\sin(b(x-h))+k|
 

|f(x)=a\cos(b(x-h))+k|
|f(x)=-4\sin(-2(x-\pi))+3|

ou

|f(x)=-4\cos(-2(x-\frac{3\pi}{4}))+3|

(Cliquer pour agrandir)
 

Équation de l'ordonnée moyenne
(l'axe d'oscillation)
|y=k| |y=3|
Période |P=\frac{2 \pi}{\mid b \mid }| |P=\frac{2\pi}{\mid -2 \mid}|=|\pi|
Domaine (|\text{dom }f|) |\text{dom }f=\mathbb{R}| |\text{dom } f=\mathbb{R}|
Image (|\text{ima }f|) |\text{ima } f = [k-\mid a \mid ,k+\mid a \mid]| |[-1,7]|
Croissance et décroissance

Pour une fonction sinus:

-Si |a| et |b| sont du même signe (|a\cdot b>0|), la fonction est croissante après le point |(h,k)|.

-Si |a| et |b| sont de signes contraires (|a\cdot b<0|), la fonction est décroissante après le point |(h,k)|.

Pour une fonction cosinus:

-Si |a| est positif (|a>0|), la fonction est décroissante après le point |(h,k+ \mid a \mid)|.

-Si |a| est négatif (|a<0|), la fonction est croissante après le point |(h,k- \mid a \mid )|.

Puisque |a| et |b| sont du même signe, la fonction est croissante après le point |(\pi,3)|.
Zéros de la fonction

Ce sont les valeurs de |x| pour lesquelles  |f(x)=0|. Si l'on trouve deux zéros dans la fonction, alors tous les autres zéros sont donnés par

|x=x_{1}+n\cdot P| et |x=x_{2}+n\cdot P|,

où |P| est la période et |n\in \mathbb{Z}|.

|x=5.13+n\pi|

et

|x=5.85+n\pi|


où |n\in \mathbb{Z}|
Ordonnée à l'origine C'est la valeur de |f(0)| |f(0)=3|
Signe de la fonction Selon l'équation de la fonction.

La fonction est négative sur les intervalles de la forme:

|[5.13+n\pi, 5.85+n\pi]|

où |n\in\mathbb{Z}|.

La fonction est positive sur les intervalles de la forme:

|[5.85+n\pi,  8.28+n\pi]|

où |n\in\mathbb{Z}|

Extremums Maximum: |k+ \mid a \mid|
Minimum: |k- \mid a \mid|
Maximum: |7|
Minimum:|-1|

 

Fonction sinus:

Déterminez les propriétés de la fonction sinus |f(x)=-1,5\sin(2(x-\frac{3\pi}{4}))+1|.

Il peut être utile de tracer le graphique de la fonction.


-L'équation de l'axe d'oscillation est |y=1|.

-Le paramètre |b| valant 2, la période de la fonction est |\displaystyle P = \frac{2\pi}{\mid b \mid} = \frac{2\pi}{\mid 2 \mid} = \pi|.

-Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire |\mathbb{R}|.

-L'image de la fonction est un intervalle de la forme |[k-\mid a \mid, k + \mid a \mid ]|. Ici, |a=-1.5| et donc l'image est l'intervalle |[-0.5,2.5]|.

-Les paramètres |a| et |b| étant de signes différents, la fonction est décroissante après le point |\displaystyle (h,k)= \left(\frac{3\pi}{4},1\right)|.
Pour pousser plus loin l'étude de la croissance et de la décroissance :
La fonction est décroissante sur les intervalles de la forme |[\frac{3\pi}{4} + n \pi, \pi +n \pi]| où |n \in \mathbb{Z}|. Elle est croissante sur les intervalles de la forme |[\pi + n \pi, \frac{3 \pi}{2}+n\pi]| où |n \in \mathbb{Z}|.

-Les zéros de la fonctions se calculent en remplaçant |f(x)| par 0.
|0 = -1.5\sin(2(x-\frac{3\pi}{4}))+1|
|-1 = -1.5 \sin(2(x-\frac{3\pi}{4}))|
|\frac{-1}{-1.5} = \frac{2}{3} = \sin(2(x-\frac{3\pi}{4}))|
Rendu ici, il faut aller voir dans le cercle trigonométrique à quels endroits le sinus vaut |\frac{2}{3}|.
La première valeur correspond à environ |0.73| radian.
Pour la seconde valeur, on peut dessiner un cercle trigonométrique pour s'aider.

La seconde valeur correspond à l'angle entre l'axe des |x| positifs et le segment rouge en pointillés.
Pour calculer cette valeur, on fait |\pi - 0.73  \approx 2.41| radians.

Le travail n'est pas fini puisque ces deux valeurs correspondent à la valeur de l'angle dans le sinus, c'est-à-dire que:
|2(x-\frac{3\pi}{4})=0.73| et |2(x-\frac{3\pi}{4})=2.41| radians.
Il faut donc isoler |x| dans les deux équations.
Dans le premier cas:
|2(x-\frac{3\pi}{4})=0.73|
|x-\frac{3\pi}{4} = 0.365|
|x = 0.365 + \frac{3\pi}{4}|
|x \approx 2.72|
Dans le second cas:
|2(x-\frac{3\pi}{4})=2.41|
|x - \frac{3\pi}{4}=1.205|
|x = 1.205 + \frac{3\pi}{4}|
|x \approx 3.56|
Ainsi l'expression générale qui donne les deux zéros est:
|\text{zéros de } f : \lbrace 2.72 + n \pi  \rbrace \cup \lbrace 3.56 + n \pi \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|

-Pour calculer l'ordonnée à l'origine, on remplace |x| par 0.
|f(0) = -1.5 \sin(2(0-\frac{3\pi}{4}))+1|
|f(0)=-1.5\sin(-\frac{6\pi}{4})+1|
|f(0) = -1.5\sin(-\frac{3\pi}{2})+1|
|f(0) =-1.5 \cdot 1 + 1|
|f(0)=-0.5|

-Les signes de la fonction se trouvent avec les zéros.
En effet, la fonction est positive sur les intervalles de la forme |[\frac{3\pi}{4}+n \pi, 2.72 + n \pi]\cup [3.56+n \pi, \frac{5\pi}{4}+n \pi]| et elle est négative sur les intervalles de la forme |[2.72 + n \pi, 3.56 + n \pi]| où |n \in \mathbb{Z}|.

-Les extremums de la fonction sont:
Maximum: |k+\mid a \mid = 1 + 1.5=2.5|
Minimum: |k - \mid a \mid = 1 - 1.5 = -0.5|

 

 

Fonction cosinus:

Déterminez les propriétés de la fonction cosinus: ||f(x)=2\cos\left( \frac{3\pi}{4}(x-1)\right)+5.|| Il peut être utile de tracer le graphique de la fonction.


-L'équation de l'axe d'oscillation de la fonction est |y=5|.

-Le paramètre |b| valant |\frac{3\pi}{4}|, période de la fonction est |\displaystyle P = \frac{2\pi}{\mid b \mid} = \frac{2\pi}{\mid \frac{3\pi}{4} \mid } = \frac{8}{3}|.

-Le domaine de la fonction est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire |\mathbb{R}|.

-L'image de la fonction est un intervalle de la forme |[k- \mid a \mid, k + \mid a \mid]|. Ici, |a=2| et donc l'image est |[3,7]|.

-Le paramètre |a| étant positif, la fonction est décroissante après le point |(h,k+ \mid a \mid)|, c'est-à-dire après le point |(1,7)|.

De manière générale, la fonction est décroissante sur les intervalles de la forme |[1 + \frac{8n}{3}, \frac{7}{3} + \frac{8n}{3}]| où |n \in \mathbb{Z}|. Elle est croissante sur les intervalles de la forme |[\frac{7}{3} + \frac{8n}{3}, \frac{11}{3} + \frac{8n}{3}]| où |n \in \mathbb{Z}|.

-La fonction n'a aucun zéro. En effet, l'axe d'oscillation étant égal à 5 et l'amplitude valant 2, alors le minimum de la fonction est 3. Toutefois, voici comment s'en rendre compte en faisant des calculs. On remplace |f(x)| par 0.
|0 = 2\cos(\frac{3\pi}{4}(x-1))+5|
|-5 = 2 \cos(\frac{3 \pi}{4}(x-1))|
|-2.5 = \cos(\frac{3 \pi}{4}(x-1))|
C'est à cette étape que tout s'arrête. En effet, les valeurs du cosinus sont entre -1 et 1. Donc, le cosinus ne peut jamais valoir -2.5.

-L'ordonnée à l'origine se calcule en remplaçant |x| par 0.
|f(0) = 2\cos(\frac{3\pi}{4}(0-1))+5|
|f(0) = 2\cos(-\frac{3\pi}{4}) + 5| (il faut aller vérifier dans le cercle trigonométrique)
|f(0) = 2 \times -\frac{\sqrt{2}}{2} + 5|
|f(0) = -\sqrt{2} +5|

-Les signes de la fonction:
Comme la fonction ne possède aucun zéro, elle est positive sur l'ensemble de son domaine.

-Les extremums de la fonction sont:
Maximum: |k + \mid a \mid = 5+2 = 7|
Minimum: |k - \mid a \mid 5-2 = 3|

 

Les propriétés des fonctions

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