Mathématique m1252

Les propriétés de la fonction logarithmique

 

Déterminez les propriétés de la fonction logarithmique ||f(x)=-\log_{1/2}(2(x+1))+3.||Il peut être utile de tracer une esquisse graphique.

-L'équation de l'asymptote de cette fonction est |x=-1|.

-Le domaine de la fonction est |]-1, + \infty[|.

-L'image de la fonction est |\mathbb{R}|.

-Pour calculer le zéro de la fonction, il faut remplacer |f(x)| par 0 et isoler |x|.
|0= - \log_{1/2} (2(x+1)) +3|
|-3 = - \log_{1/2} (2(x+1))|
|3 = \log_{1/2} (2(x+1))|

On passe maintenant à la forme exponentielle.
|\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 2(x+1)|
|\displaystyle \frac{1}{8} = 2(x+1)|
|\displaystyle \frac{1}{16} = x+1|
|\displaystyle \frac{1}{16}-1=x|
|\displaystyle -\frac{15}{16}=x|

-Pour calculer l'ordonnée à l'origine, il faut remplacer |x| par 0.
|f(0) = - \log_{1/2} (2(0+1)) +3|
|f(0) = - \log_{1/2} (2) + 3|
|f(0) = -1 \cdot -1 + 3|
|f(0) = 4|

-La fonction est négative sur | ]-\infty, -\frac{15}{16}]| et elle est positive |[-\frac{15}{16},+\infty[|.

-La fonction est croissante sur tout son domaine.

-La fonction ne possède aucun extremum.

 

Les propriétés des fonctions

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