Mathématique m1267

Les solides semblables, isométriques et équivalents

​​​​​​​​​​​​​​​Lorsque l'on compare deux solides géométriques ensemble, il arrive que l'on remarque des éléments particuliers.

Les solides isométriques

Des solides isométriques sont des solides identiques: en tout point (côtés homologues congrus, angles homologues congrus, même apparence, etc.).

En d'autres mots, des solides sont isométriques si l'un est le résultat de l'autre par une transformation géométrique isométrique​. Dans un même ordre d'idées, il est important de noter qu'il n'es​t pas nécessaire que deux solides aient la même orientation dans l'espace pour qu'on puisse considérer qu'ils soient isométriques.

Voici une paire de prismes à base triangulaire. Ces prismes sont isométriques, puisque toutes les mesures homologues sont congrues.
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​​​Dans le cas précédent, on voit que toutes les conditions sont respectées pour qualifier ces deux solides d'isométriques.

Les solides semblables

Dans le cas présent, il s'agit de solides qui se ressemblent dont certaines mesures sont identiques et d'autres sont proportionnelles.

Des solides semblables sont des solides qui ont la même forme dont les angles homologues sont congrus mais qui possèdent des mesures de côtés homologues proportionnelles.

Plus précisément, on peut relier cette notion de solides semblables avec celle de l'homothétie.​

Les deux prismes à base rectangulaire sont-ils semblables?

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Pour que deux solides soient semblables, il faut non seulement que les angles homologues soit égaux mais aussi que le rapport de proportionnalité soit le même pour chaque paire de côtés homologues.

Voici le dessin d'une paire de solides semblables:
 

Le solide initial et le solide image ont exactement la même forme, ils ont des angles homologues congrus et leurs côtés homologues sont proportionnels. En effet, une homothétie de rapport 1/2 a été appliquée sur le solide initial afin d'obtenir le solide image.

Les solides équivalents

Des solides équivalents sont des solides qui ont le même volume.

​Fait à noter, il n'y a aucune restriction quant à la proportionnalité des mesures de côtés homologues ou de la congruence des mesures d'angles.

Est-ce que les solides suivants sont équivalents?
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||​​\begin{align}\color{blue}{\text{Volume}_\text{cube}} &= c^3\\ ​ &= 25^3 \\  &= 125 \ \text{cm}^3​ \\ 
& \\
\color{green}{\text{Volume}_\text{prisme}} &= A_b \cdot h \\ &= \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 12,5 \\
&=125 \ \text{cm}^3 \end{align}||
Puisque |\color{blue}{\text{Volume}_\text{cube}} = \color{green}{\text{Volume}_\text{prisme}}|, alors les deux solides sont équivalents.

​​​Une fois que l'on maîtrise bien le concept de solides semblables, il faut généralement s'en remettre aux manipulations algébriques pour trouver des mesures manquantes de solides équivalents​.

Les solides de même aire

​On peutétablir la même genre d'équivalence, mais avec le concept d'aire totale.

Des solides de même aire sont des solides qui ont une aire totale identique.

Une fois de plus, des solides qui ont la même aire n'ont pas besoin d'être semblables. Malgré sa courte définition, il faut garder en mémoire que c'est de l'aire totale qui est question et non de l'aire des bases ou de l'aire latérale.

Est-ce que les solides suivants sont de même aire?
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||\begin{align} \color{blue}{\text{Aire totale}_\text{pyramide}} &= A_b + A_\text{latérale} \\ &= 6^2 + \left(\frac{6 \cdot 5}{2}\right)​ \cdot 4\\
&= 36 + 60\\
&= 96 \ \text{cm}^2\\
& \\
\color{green}{\text{Aire totale}_\text{prisme}} &= 2 \cdot A_b + A_\text{latérale}\\
&= 2 \cdot \left(\frac{2 \cdot 4,6 \cdot 5}{2}\right) + (2 \cdot 5) \cdot 5\\
&= 46 + 50\\
&= 96 \ \text{cm}^2 \end{align}||
Comme |\color{blue}{\text{Aire totale}_\text{pyramide}} = \color{green}{\text{Aire totale}_\text{prisme}}|, alors les deux solides sont de même aire.
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