Mathématique m1290

Tangente et arc tangente |(\tan^{-1})|

Comme les rapports trigonométriques sinus et cosnus, on peut utiliser le rapport trigonométrique tangente pour trouver la mesure d'un côté ou la mesure d'un angle dans un triangle rectangle.

  • Définition du rapport tangente
  • Trouver la mesure d'un côté (tangente)
  • Trouver la mesure d'un angle (arc tangente)
  • Définition du rapport tangente

    ​​Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle, noté |tan \theta| est le rapport de la mesure du côté opposé à l'angle θ et du côté adjacent à ce même angle.

    La tangente est un des trois rapports trigonométriques que l'on retrouve dans un triangle rectangle. Pour un angle aigu, sa valeur est toujours positive et correspond au rapport suivant:

    ||\tan \theta = \frac{\text{mesure de la cathète opposée à l'angle} \theta}{\text{mesure de la cathète adjacente à l'angle} \theta}||

    Ainsi, si on veut déterminer les tangentes des angles aigus dans le triangle rectangle suivant, on obtient les rapports 

    ||\begin{align} \tan \color{red}{A}&= \frac{\color{red}{a}}{\color{blue}{b}}\\
    \tan \color{blue}{B}&=\frac{\color{blue}{b}}{\color{red}{a}}\end{align}||​

    Pour ne pas les oublier, il existe un truc mnémotechnique permettant de se souvenir rapidement des trois premiers rapports trigonométriques. 

    Il suffit de se souvenir de l'expression SOH - CAH - TOA

    SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse
    CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
    TOA : Tangente = Opposé / Adjacent
    Pour calculer la valeur du rapport tangente, on utilise le rapport trigonométrique approprié en identifiant adéquatement chacun des angles et des côtés du triangle rectangle.​​

    Dans le triangle ci-dessous, que vaut tan A ?
     
    ||\begin{align} \tan\ \theta &=\displaystyle \frac{\text{opposée}}{\text{adjacent}}\\
    \Rightarrow \tan A&= \frac{3}{\sqrt{27}}\\
    &\approx 0,57735\end{align}||

    De cette façon, on peut arriver à résoudre un triangle rectangle.​

    Trouver une mesure de côté (tangente)

    ​​Puisque les rapports trigonométriques sont définies selon une forme de proportionnalité entre les mesures de côtés et les mesures d'angles d'un triangle rectangle, on peut les utiliser pour trouver des mesures de côté.

    ​Selon les informations données, trouve la mesure de |\overline{AB}|.
    m1290 - 10.PNG 
    ||\begin{align} \tan \theta &= \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\\
     \Rightarrow \tan 35^\circ &= \frac{5}{?}\\
    ? &= \frac{5}{\tan 35^\circ}\\
    &\approx 7,14 \ \text{cm}\end{align}|| 

    Lors de ces calculs, il est bien important de programmer sa calculatrice en degrés et non en radians.

    Lorsqu'on fait référence aux radians et à un triangle rectangle qui a une hypoténuse de 1 unité, on se retrouve dans une situation identique au cercle trigonométrique

    Trouver la mesure d'un angle (arc tangente)

    Puisque le rapport tangente est une forme d'opération, on peut y associer un inverse, une réciproque

    La fonction arc tangente, généralement notée |\tan^{-1}| ou |\arctan|, est la réciproque de la fonction tangente

    Concrètement, la valeur d’un arc tangente répond à la question : « Quel angle me donne une tangente de…? ». Pour connaître la mesure d’un angle, on utilise la touche tan -1 de la calculatrice.

    Quelle est la mesure de l’angle A dans le triangle ci-dessous?
     
    ||\begin{align} \tan\, \theta &=\frac{Oppos\acute{e}}{Adjacent}\\
    \Rightarrow \tan A &= \frac{a}{b}\\
    \tan A &=\frac{3}{\sqrt{27}}\\
    \tan A &\approx 0,57735\\
    A &\approx  \arctan (0,57735)\\
    &\approx 30^\circ \end{align}||​
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