Mathématique m1299

Le vecteur dans un plan cartésien et ses composantes

​​​​​​​​​Lorsqu'on place le vecteur dans un plan cartésien, on peut lui attribuer de nouvelles caractéristiques.

Un vecteur géométrique est un vecteur qui est tracé dans un plan cartésien.
Il est défini par sa direction, son sens et sa longueur (aussi appelée «norme» ou «module»).​

De plus, un vecteur tracé dans un plan cartésien possède un point de départ appelé origine et un point d'arrivée appelé extrémité.

 
Ce vecteur a pour origine le point |A| et pour extrémité le point |B| et c'est la raison pour laquelle il est noté |\overrightarrow {AB}|.

Fait à noter, le vecteur |\overrightarrow {BA}| n'est pas le même que le vecteur |\overrightarrow {AB}| puisque leur origine et leur extémité sont inversés.

Les composantes d'un vecteur

​​À chaque fois que l'on veut tracer un vecteur, on doit inévitablement le tracer en faisant une flèche. Par ailleurs, les composantes de cette flèche peuvent être représentées par des composantes qui prennent la forme d'un couple.

Un vecteur peut être décrit par ses composantes, c'est-à-dire par un couple de nombres |(a,b)| où |a| est la composante horizontale du vecteur et |b| la composante verticale.

En résumé, on peut définir les composantes d'un vecteur |\overrightarrow {AB}| par un couple |(a,b)| avec |a = x_2 - x_1| et |b = y_2 - y_1|. Toujours en se servant du plan cartésien, on peut démontrer le tout de la façon suivante:

 

​​Ainsi, le plan cartésien peut être d'une grande aide lorsque vient le temps de trouver les composantes d'un vecteur.

Quelles sont les composantes du vecteur suivant?
 

1. Déterminer la coordonnée de l'origine du vecteur
Le point d’origine du vecteur est |( -1, 1)|

2. Déterminer la coordonnée de l'extrémité du vecteur
Le point de l'extrémité (la flèche) se situe au point |(-3, 4)|

3. Déterminer les composantes |(a,b)| du vecteur
La composante en |x| sera |a=x_2-x_1=-3--1=-2|.

La composante en |y| sera |b=y_2-y_1=4-1=3|.

4. Écrire les composantes du vecteur
Les composantes du vecteur sont |(-2,3)|.

Malgré tout, il est possible de trouver les composantes d'un vecteur sans l'aide du plan cartésien. Par contre, il faut absolument avoir l'orientation de ce dernier. De cette façon, on peut trouver les composantes d'un vecteur à l'aide des rapports trigonométriques.

À l'aide des informations données, détermine les composantes de |\overrightarrow {AB}|
 

1. Déterminer l'accroissement horizontal
Selon l'angle |\theta = 51^\circ|, on peut utiliser le rapport trigonométrique suivant:
||\begin{align} \tan 51^\circ &= \frac{4,45}{\color{green}{\text{accroissement horizontal}}}​\\
\Rightarrow \color{green}{\text{accroissement horizontal}} &= \frac{4,45}{\tan 51^\circ} \\
\color{green}{\text{accroissement horizontal}} &\approx 3,60 \end{align}||

2. Déterminer l'accroissement vertical
Selon le dessin, il est déjà fourni et il vaut |4,45 \text{cm}|

3. Écrire les composantes du vecteur
Ainsi, les composantes de ce vecteur sont |(3,60 ; 4,45)|


​Par ailleurs, il est important de mentionner que peu importe le vecteur, la mesure en degré qui correspond à son orientation est toujours calculée de la même façon.

L'orientation du vecteur est toujours l'angle calculé à partir de l'axe des |x| positifs.
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Calcul de l​a norme d'un vecteur

Puisque tous les vecteurs peuvent être décrits à l’aide de composantes, on se sert de la relation de Pythagore pour calculer la norme d’un vecteur. Dans tous les cas, on associe le vecteur à l'hypoténuse de ce type de triangle.

Si on connaît plutôt le point de départ |A=(x_1,y_1)| et le point d'arrivée |B=(x_2,y_2)| d'un vecteur |\overrightarrow{AB}|, on calcule la norme avec la formule de la distance entre deux points:
|\mid \mid \overrightarrow{AB} \mid \mid = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}|.

Bref, la démarche à suivre dépendra des informations qui sont fournies avec le vecteur.

 

1. Choisir la formule appropriée
Dans le cas présent, les mesures des deux cathètes du triangle rectangle sont données. Ainsi, on peut utiliser la formule de Pythagore.

2. Appliquer la formule
|| \begin{align} \mid \mid \overrightarrow v \mid \mid ^2 &= a^2+b^2 \\
\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid ^2 &= 3^2 + 4^2 \\
\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid ^2 &= 25\\
\sqrt{\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid ^2 } &=\sqrt{25}\\
\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid &= \pm 5 \end{align}||

3. Interpréter la réponse
Puisqu’on recherche une longueur, |-5| est à rejeter. Ainsi, |\mid \mid \overrightarrow{v} \mid \mid =5|.

Dans les cas où la norme du vecteur est exactement |1 \text{unité}| ou |0 \ \text{unité}|, on peut y attribuer un qualificatif particulier.

Un vecteur dont la norme est |1| est appelé un vecteur unitaire.

Un vecteur dont la norme est 0 et le sens et la direction ne sont pas définis est appelé un vecteur nul. On le note |\overrightarrow{0}|.

Les composantes d'un vecteur à partir de sa norme et de son orientation

Très fréquemment, il faudra trouver les composantes d'un vecteur alors que l'on connaît sa norme et son orientation.

Soit |\mid \mid \overrightarrow{v} \mid \mid| la norme d'un vecteur |\overrightarrow{v}|, |\theta| l'angle formé par le vecteur, alors ses composantes |(a,b)| sont données par:
|a= \mid \mid \overrightarrow{v} \mid \mid \cdot \cos \theta|
et
|b= \mid \mid \overrightarrow{v} \mid \mid \cdot \sin \theta|.

En fait, ces égalités découlent des rapports trigonométriques que l'on peut utiliser dans les triangles rectangles.

​En travaillant avec le vecteur suivant,
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on peut en déduire les formules suivantes qui sont en lien avec les rapports trigonométriques:
||\begin{align} \cos \theta &= \frac{\color{red}{a}}{\color{green}{\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid}} \\
\Rightarrow \cos \theta \cdot \color{green}{\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid} &= \color{red}{a}\end{align}||
De la même façon,
||\begin{align} \sin \theta &= \frac{\color{blue}{b}}{\color{green}{\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid}}\\
\Rightarrow \sin \theta \cdot \color{green}{\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid} &= \color{blue}{b}\end{align}||.​​​

Concrètement, on peut appliquer les formules démontrées plus haut de la façon suivante:

Quelles sont les composantes |(a,b)| de |\overrightarrow v| si on sait que |\mid \mid \overrightarrow v \mid \mid = 5,83 \ \text{unités}|?
 

1. Trouver la valeur de la composante |a|
||\begin{align} a &= \mid \mid \overrightarrow v \mid \mid \cdot \cos \theta\\
a &= 5,83 \cdot \cos 59^\circ\\
a &\approx 3\end{align}||

2. Trouver la valeur de la composante |b|
||\begin{align} b &= \mid \mid \overrightarrow v \mid \mid \cdot \sin \theta\\
b &= 5,83 \cdot \sin 59^\circ\\
b &\approx 5 \end{align}||

3. Écrire les composantes de façon adéquate
Ainsi, les composantes du vecteur |\overrightarrow{v}| sont |(3,5)|.

L'orientation d'un vecteur à partir de ses composantes

Lorsque l'on connaît les composantes |(a,b)| d'un vecteur quelconque, il est toujours possible de déterminer précisément son orientation.

|\tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) = \theta|

Remarque: Il est toujours préférable de faire une esquisse graphique, car il arrive fréquemment que la formule précédente ne donne pas exactement le |\theta| voulu. Voici les cas particuliers:
- Si |a>0,b>0: \theta| est valide.
- Si |a<0,b>0:| on calcule le bon angle en faisant |\theta + 180°|.
- ​Si |a<0,b<0:| on calcule le bon angle en faisant |\theta + 180°|.
- Si |a>0,b<0:| on calcule le bon angle en faisant |\theta + 360°|.

Malheureusement, ces contraintes sont presque incontournables. En fait, la majorité des calculatrices sont programmées pour donner un angle au centre qui se situe à droite de l'axe des ordonnées dans le plan cartésien. Par contre, avec les propriétés du cercle trigonométrique​, on peut palier à ce problème de programmation en additionnant |180^\circ| ou |360^\circ| selon les circonstances.

Soit le vecteur |\overrightarrow{v}| suivant:
 
quelle est l'orientation de ce vecteur?

1. Déterminer les composantes de |\overrightarrow v|
Les composantes de ce vecteur sont |(\color{red}{a},\color{blue}{b})=(\color{red}{-3},\color{blue}{-4})|.

2. Appliquer la formule
|| \begin{align} \tan^{-1} (\frac{\color{blue}{b}}{\color{red}{a}}) &= \theta \\
\tan^{-1} \left(\frac{\color{blue}{-4}}{\color{red}{-3}} \right)&=\theta \\
53,13^\circ &\approx \theta \end{align}||
3. Analyser les valeurs des paramètres |\color{red}{a}| et |\color{blue}{b}|
Puisque |\color{red}{a} < 0| et |\color{blue}{b} < 0 |, on doit modifier la valeur du​ |\theta| trouvée.
Selon la formule,
|| \begin{align} \text{réelle valeur de} \ \theta &= \theta \ \text{trouvée} + 180^\circ \\
\text{réelle valeur de} \ \theta &= 53,13^\circ + 180^\circ \\
\text{réelle valeur de} \ \theta &= 233,13^\circ \end{align}||
4. Interpréter la réponse
Ainsi, l'orientation de ce vecteur est de |233,13^\circ​|. ​
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