Mathématique m1303

L'addition et la soustraction de vecteurs

​​​​​​​​Puisque les vecteurs sont définies selon des composantes, il est possible d'effectuer diverses opérations sur deux vecteurs.

L’addit​​ion de vecteurs

Trois méthodes sont souvent utilisées pour additionner des vecteurs : la méthode du triangle, la méthode du parallélogramme et la méthode algébrique. Parfois, on peut même utiliser la relation de Chasles.

Soit |\overrightarrow{u}| et |\overrightarrow{v}|, alors |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}| est appelé "la somme des vecteurs".
On utilise aussi les appellations «vecteur résultant», «résultante» ou «vecteur somme».

Méthode du triangle

1. On place les vecteurs l'un à la suite de l'autre. Ainsi, l'extrémité du premier vecteur devient l'origine du second vecteur.
2. Ensuite, on relie l’origine du premier vecteur à l'extrémité du second vecteur.

En pratique, cette méthode est très pratique lorsqu'on peut avoir recours à un plan cartésien.

Quelle est la résultante des vecteurs suivants?
 
1) Placer les vecteurs un à la suite de l’autre
 
2) Relier les vecteurs de façon appropriée
 

Dans cet exemple, la résultante est le vecteur rouge qui a été obtenu suite à l'addition de |\overrightarrow {u}| et |\overrightarrow {v}|.

Méthode du parallélogramme

Pour additionner des vecteurs qui ont la même origine, on peut aussi utiliser la méthode du parallélogramme. 

1. Tracer |\color{red}{\overrightarrow{u}}| et |\color{blue}{\overrightarrow{v}}|s avec l'origine comme point de départ. 

2. Tracer un autre |\color{red}{\overrightarrow{u}}| à l'extrémité de |\color{blue}{\overrightarrow{v}}|.

3. Faire de même avec l'extémité de |\color{red}{\overrightarrow{u}}| pour y tracer un autre |\color{blue}{\overrightarrow{v}}|

4. Le vecteur somme est le vecteur qui part de l'origine et qui se rend jusqu'au sommet opposé du parallélogramme ainsi formé.

​À l’aide des deux vecteurs à additionner, on forme un parallélogramme pour ensuite utiliser sa diagonale comme résultante.

Quel est le vecteur résultant de la somme de |\overrightarrow {u}| et |\overrightarrow {v}|?


​Une fois de plus, le vecteur rouge est la résultante de l'addition de |\overrightarrow {u}| et |\overrightarrow ​{v}|.

Méthode algébrique

Pour additionner des vecteurs dont on connaît les composantes, il est utile de se servir de la méthode algébrique.

​||\begin{align} \overrightarrow {u} + \overrightarrow {v} &= (x_\overrightarrow {u}, y_\overrightarrow{u}) + (x_\overrightarrow{v}, y_\overrightarrow{v}) \\
&= (x_\overrightarrow{u} + x_\overrightarrow{v} , y_\overrightarrow{u} + y_\overrightarrow{v}) \end{align}||

Avec cette méthode on obtient alors les composantes du vecteur résultant.

Soit |\overrightarrow{u} = (3, 2)| et |\overrightarrow{v} = (4, -1)|, quelle est la résultante de la somme de ces deux vecteurs?

1) Faire la somme des coordonnées en |x| de chacun des vecteurs
||x_\overrightarrow{u} + x_\overrightarrow{v} = 3 + 4 = 7||
2) Faire la somme des coorodnnées en |y| de chacun des vecteurs
||\begin{align} y_\overrightarrow{u} + y_\overrightarrow{v} &= 2 +^-1 \\
&= 1 \end{align}||
3) Déduire les composantes de la résultante

Les composantes |(x,y)| de la résultante sont |(7, 1)|.

En cas de doute, on peut vérifier par le biais d'une autre méthode:


Généralisation : soit un vecteur |\overrightarrow{u}=(a,b)| et un vecteur |\overrightarrow{v}=(c,d)|, alors on obtient ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(a+c,b+d)||

La relation de Chasles

Pour additionner des vecteurs dont les sommets sont identifiés, on peut utiliser la relation de Chasles. La relation de Chasles est très utile lors des démonstrations vectorielles.

Selon la relation de Chasles, lors de l’addition de deux vecteurs, si la fin du premier vecteur concorde avec l'origine du second vecteur, la somme sera égale au vecteur ayant comme origine celle du premier vecteur et comme extrémité celle du second vecteur.
||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}||

Dans la somme précédente, comme le sommet |B| est à la fois la fin du vecteur |\overrightarrow{AB}| et l'origine du vecteur |\overrightarrow{BC}|, la somme est égale au vecteur |\overrightarrow{AC}|, car |A| est l'origine du premier vecteur et |C| est l'extrémité du second vecteur.

||\begin{align} \overrightarrow{RS}+\overrightarrow{TR}&=\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{RS} ​\ \text{(par commutativité)} \\
 &= \overrightarrow{TS} \ \text{(par la relation de Chasles)} \end{align}||

La soustraction de vecteurs

Pour soustraire un vecteur, on additionne son vecteur opposé.​ Un vecteur opposé a la même grandeur, la même direction, mais son sens est contraire à celui du vecteur d'origine.

​​​​​​

||\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow {DC}||

​En utilisant les vecteurs opposés, on augmente la possiblité d'utilisation de la relation de Chasles.

Avec les composantes
Soit le vecteur |\overrightarrow{u}= (3,2)| et le vecteur |\overrightarrow{v} = (4,-1)|, que vaut |\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}| ?

1) Déterminer les composantes du vecteur opposé
L'opposé de |\overrightarrow {v} = (-4, 1)|.

2) Transformer la soustraction en addition de l'opposé
|| \begin{align} \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}&=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v}) \\
&=(3,2)+(-4,1) \\
&=(-1,3) \end{align}||
Avec les sommets (Chasles)
Soit la soustraction |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}|.

1) Déterminer les sommets du vecteur opposé

L'opposé de |\overrightarrow{BC}| devient ​|\overrightarrow{CB}|.

2) Transformer la soustraction en addition de l'opposé
||\begin{align} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\\
&=\overrightarrow{AB} \end{align}||

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