Mathématique m1305

La combinaison linéaire de vecteurs

​​​​Même s'il existe une infinité de vecteurs, il est possible d'exprimer chacun d'eux à partir d'une combinaison de vecteurs. Ainsi, les vecteurs utilisés pour créer la combinaison constituent une base vectorielle.

Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui permet d'exprimer n'importe quel autre vecteur à l'aide d'une combinaison linéaire.

Pour composer une base vectorielle, on peut choisir n'importe quels vecteurs |\overrightarrow {u}| et |\overrightarrow{v}| en autant qu'ils ne soient pas parallèles (|\overrightarrow{u} \not\parallel \overrightarrow{v}|).​

On peut décomposer n'importe quel vecteur en deux dimensions en une somme de deux autres vecteurs lesquels sont multipliés par des scalaires.

Soit |\overrightarrow{u_1}| et |\overrightarrow{u_2}| deux vecteurs non parallèles et |a| et |b| deux scalaires, alors
||\overrightarrow{v} = a \overrightarrow{u_1} + b \overrightarrow{u_2}|| 

Pour créer ce vecteur |\overrightarrow {v}|, on a recours à une combinaison des vecteurs |\overrightarrow{u_1}| et |\overrightarrow{u_2}|. En d'autre mots, il s'agit d'une combinaison vectorielle.​

 

Si on souhaite déterminer une combinaison linéaire à l'aide des composantes du vecteur à décomposer et des vecteurs de la base, on peut suivre les étapes suivantes.

1. Écrire la combinaison linéaire en utilisant les composantes des vecteurs connus et utiliser des scalaires (par exemple |a| et |b|) pour multiplier les vecteurs de la base.

2. Écrire un système de deux équations avec deux inconnues: une équation pour les composantes en |x| et une pour les composantes en |y|.

3. Résoudre le système d'équations.

4. Écrire la combinaison linéaire en remplaçant les constantes |a| et |b| par les valeurs déterminées à l'étape 3.

Concrètement, on obtient une démarche qui ressemble à celle qui suit.

Quelle est la combinaison vectorielle qui permet d'obtenir le vecteur |\overrightarrow{v}= (3,4)| en fonction des vecteurs |\overrightarrow{s} = (3,1)|et |\overrightarrow{r}=(2,4)|?

1) Écrire la combinaison linéaire
D'abord, on écrit une équation représentant la combinaison linéaire en utilisant des constantes |a| et |b| qui sont les scalaires qui multiplieront les vecteurs |\overrightarrow{r}| et |\overrightarrow{s}|.
||\begin{align} \overrightarrow {v} &= a \overrightarrow{s} + b \overrightarrow {r} \\
\Rightarrow (3, 4) &= a(3, 1) + b(2, 4) \\
&= (3a, a) + (2b, 4b)​ \end{align}||
On met les composantes en |x| ensemble et les composantes en |y| ensemble.
||\Rightarrow (3, 4) = (3a + 2b , a + 4b) ||
2) Créer le système d'équations
Selon la composante en |x| de |\overrightarrow {v}|, on obtient
||3 = 3a + 2b||
Selon la composante en |y| de |\overrightarrow {v}|, on obtient
||4 = a + 4b||
Finalement, on obtient le système d'équations suivant:
||\left\{\begin{matrix}
3=3a+2b\\
4=a+4b
\end{matrix}\right.||
3) Résoudre le système d'équations
Nous pouvons résoudre ce système en utilisant la méthode de réduction.

En multipliant par |3| la deuxième équation, on obtient
||3(4)=3(a+4b) \rightarrow 12 = 3a + 12b||
Par la suite, on peut éliminer les termes ayant la variable a.
||\begin{align}\phantom{^{-}\ }3&=3a+2b\\
^{-}\ 12&=3a+12b\\
\phantom{^{-}\ }\phantom{1}\overline{\phantom{15}\color{red}{-9}}&\overline{=\phantom{0a} -10b\phantom{15}}\end{align}||
En isolant |b|, on obtient
||0,9 = b||
On remplace la constante |b| dans l'une des deux équations de départ pour déterminer la constante |a|.
||\begin{align} 3 &= 3a +2 \times 0,9 \\
3 &= 3a + 1,8 \\
1,2 &= 3a\\
0,4 &= a \end{align}||
4) Écrire la combinaison linéaire recherchée
||\begin{align} \overrightarrow {v} &= a \overrightarrow{s} + b \overrightarrow {r} \\
&=0,4\overrightarrow{s}+0,9\overrightarrow{r}\end{align}||

Pour valider la réponse, on peut utiliser un plan cartésien et y intégrer les informations sur chacun des vecteurs |\overrightarrow {v}. \overrightarrow {s}, \overrightarrow{r}|.

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La base vectorielle orthonormée
Il existe deux vecteurs perpendiculaires qui servent de base pour plusieurs vecteurs. Ces vecteurs sont perpendiculaires et unitaires. On les identifie souvent comme |\overrightarrow{i}| et|\overrightarrow{j}|.

|\overrightarrow{i}| est horizontal et a pour composantes |(1,0)| tandis que |\overrightarrow{j}| est vertical et a pour composantes |(0,1)|. Les vecteurs |\overrightarrow{i}| et |\overrightarrow{j}| forment la base vectorielle orthonormée à partir de laquelle il est plus facile de construire des combinaisons vectorielles. ​
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