Mathématique m1306

La démonstration des propositions portant sur les vecteurs

​​​​​​​​Il n'existe pas de procédure qui permette à tout coup de démontrer des énoncés à l'aide des vecteurs. 

Cependant, certaines stratégies peuvent s'avérer efficaces et permettre la démonstration de tels énoncés.

  1. Monter un plan de démonstration (dans sa tête ou par écrit) avant de se lancer dans les calculs.
  2. Travailler de façon structurée. Des tableaux comme ceux utilisés dans les exemples présentés plus bas permettent souvent d'effectuer une démonstration plus claire.
  3. Mettre à profit la relation de Chasles.
  4. Utiliser les propriétés des vecteurs et des opérations vectorielles.

Montrer que si |\overrightarrow{u} = (a,b)|, alors |\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\mid \mid -\overrightarrow{u}\mid \mid |.

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Affirmations Justifications
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}|Par définition
|-\overrightarrow{u}=(-a,-b)|Vecteur opposé
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{(-a)^{2}+(-b)^{2}}|Par définition
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\sqrt{a^{2}+b^{2}}|Par calculs
Les côtés droits des affirmations 1 et 4 sont identiques.Constatation
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid =\mid \mid -\overrightarrow{u}\mid \mid |Par transitivité
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Démontrer que |\overrightarrow{u}^{2}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}|. 

Posons que |\overrightarrow{u}=(r,s)|.

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Affirmations Justifications
|\overrightarrow{u}^{2}=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}|Par définition
|\overrightarrow{u}^{2}=ac+bd|Définition du produit scalaire
|\overrightarrow{u}^{2}=r^{2}+s^{2}|Avec les bonnes composantes
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}|Par définition
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=(\sqrt{r^{2}+s^{2}})^{2}|Avec les bonnes composantes
|\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}=r^{2}+s^{2}|Par calculs
Les côtés droits des affirmations 3 et 6 sont identiques.Par constatation
|\overrightarrow{u}^{2}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}|Par transitivité

Montrer que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.

 

Hypothèse : |ABCD| est un losange.
Conclusion : |\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{BD}|
Il faut donc démontrer que |\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0| (produit scalaire).

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Affirmations Justifications
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})|Par la relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})|Ce sont les côtés congrus d'un losange
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA})|Par commutativité
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})|
Vecteur opposé
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AB}^2|Différences de carrés
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\mid \mid \overrightarrow{AD}\mid \mid ^{2}-\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}||\overrightarrow{u}^{2}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid ^{2}|
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}-\mid \mid \overrightarrow{AB}\mid \mid ^{2}|Côtés congrus d'un losange
|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0|Par soustraction


Si |ABCD| est un parallélogramme, alors les diagonales se coupent en leur milieu.

 

Hypothèses : |ABCD| est un parallélogramme et |M| est le point milieu de la diagonale |AC|.
Conclusion : |M| est le point milieu de la diagonale |DB|. Ainsi, il faut démontrer que |\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DM}|.

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Affirmations Justifications
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}|Relation de Chasles
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AM}|Côtés opposés d'un parallélogramme
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MC}|Par hypothèse
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}|Commutativité de l'addition
|\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MB}|Relation de Chasles

Montrer que le segment de droite qui relie le milieu de deux côtés d'un triangle est parallèle au |3^e| côté et est égal à la moitié de ce côté.

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Hypothèses : |ABC| est un triangle et |\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}| puis |\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}|.
Conclusion : |\displaystyle \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}|

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AffirmationsJustifications
|\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|Relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC})|Relation de Chasles
|\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{BN}|Par hypothèse
|\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{BN}|Addition de vecteurs
|\overrightarrow{AC}=2(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN})|Mise en évidence
|\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MN}|Relation de Chasles
|\displaystyle \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN}|Division par 2
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