Mathématique m1307

Les vecteurs en contexte

​​​​​​​​​​​​​​​​Les applications utilisant les vecteurs sont multiples.

Les vecteurs force

La force résultante

Lorsque plusieurs forces agissent sur un même objet, il est possible de remplacer toutes ces forces par une seule, la force résultante (|F_R|).

La force résultante se calcule grâce à l’addition vectorielle des forces en présence. L’objet réagira de la même façon si on lui applique l’ensemble des forces que si on lui applique la force résultante.

Trois chevaux tirent sur un arbre tel que schématisé ci-dessous (chaque cheval est représenté par une force : |F_1,F_2| et |F_3|). Afin d'éviter les accidents, on veut savoir dans quelle direction devrait tomber l'arbre ?

​1) Trouver les composantes de chacun des vecteurs

En utilisant les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles, on peut déduire les composantes suivantes:
||\begin{align} \color{blue}{F_1 (x,y)} & \\
\Rightarrow \color{blue}{x} &= 2 \ 300 N \cdot \cos 110^\circ \\
&= - 787 N \\
\Rightarrow \color{blue}{y} &= 2 \ 300 N \cdot \sin 110^\circ \\
&= 2 \ 161 N\\
\color{red}{F_2 (x,y)} &\\
\Rightarrow \color{red}{x} &= 2 \ 500 N \cdot \cos 60^\circ \\
&= 1 \ 250 N\\
\Rightarrow \color{red}{y} &= 2 \ 500 N \cdot \sin 60^\circ \\
&= 2 \ 165 N\\
\color{green}{F_3 (x,y)} &\\
\Rightarrow \color{green}{x} &= 3 \ 000 N \cdot \cos 10^\circ \\
&= 2 \ 954 N\\
\Rightarrow \color{gree}{y} &= 3 \ 000 N \cdot \sin 10^\circ \\
&= 521 N \end{align}||

2) Additionner les composantes pour obtenir celles de |F_R|
​|x|​|y|
​|\color{blue}{F_1}|​|- 787 N|​|2 \ 161 N|
​|\color{red}{F_2}|​|1 \ 250 N|​|2 \ 165 N|
​|\color{green}{F_3}|​|2 \ 954 N||521 N|​
​|F_R| ​| 3 \ 417 N| ​|4 \ 847 N |

3) Calculer |\mid \mid F_R \mid \mid|

||\begin{align}\mid \mid F_R \mid \mid &= \sqrt{3 \ 417^2 + 4 \ 847^2} \\
&\approx 5 \ 930 N \end{align}||

4) Déterminer l'orientation de |F_R|

En représentant |F_R| dans un plan cartésien, on peut former un triangle rectangle ce qui permet l'utilisation des rapports trigonométriques.
||\begin{align}\tan \theta &= \displaystyle \frac{4 \ 847}{3 \ 417}\\
&\approx 55^\circ \end{align}||

5) Interpréter la réponse

Ainsi, l'arbre devrait tomber en formant un angle de |55^\circ| avec l'axe des |x| positif.

Dans cet exemple, il n'était pas essentiel de trouver la norme de |F_R|. Le cas échéant, cette partie de l'exemple pourra être utilisé comme référence.

La force équilibrante

La force équilibrante, parfois noté (F_É), est la force qu’il faut ajouter à un système de forces pour que la somme des forces (incluant la force équilibrante) soit égale à zéro. On pourra donc dire que la force équilibrante est égale à la force résultante dont on a changé le sens.

​Pour changer le sens de la résultante, on peut utiliser deux méthodes différentes en fonction des informations disponibles.

-Si le vecteur est présenté avec sa norme et son orientation, il faudra ajouter |180^\circ| à l’orientation (ou soustraire |180^\circ| si l’orientation est de |180^\circ|​ ou plus) et la norme restera la même.

- Si le vecteur est présenté avec ses composantes, on devra changer le signe de chacune des composantes.


Afin d'alléger cette fiche, on va utiliser l'exemple précédent.

​​

Pour éviter que l'arbre ne tombe tout de suite, on veut appliquer une forme suffisante sur celui-ci. Quelles devraient-être les composantes de cette force équilibrante?

1) Trouver les composantes de la force résultante
Comme calculé dans l'exemple plus haut,
||F_R = (3 \ 417, 4 \ 847)||
2) Déduire les composantes de la force équilibrante.
||\begin{align} F_R &= (3 \ 417 , 4 \ 847) \\
\Rightarrow F_É &= (-3 \ 417, -4 \ 847)\end{align}||

​Avec un exemple qui ferait référence à la norme et à l'orientation de |F_R|, il suffit simplement d'ajouter ou de soustraire |180^\circ| tout en s'assurant que l'orientation de |F_É| est positive.

Les vecteurs déplacement

Le vecteur déplacement correspond à la différence entre deux vecteurs positions: |\overrightarrow{r_f}| est la position finale et |\overrightarrow{r_i}| est la position initiale.
On note |\Delta \overrightarrow{r}| le vecteur déplacement.

En d'autres mots, on peut associer cette notion à celle ​de vecteur résultant.

Soit le schéma suivant:
 
Le vecteur déplacement correspond à
||\Delta \overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_f}-\overrightarrow{r_i}|| 

​Pour déterminer les composantes de |\color{red}{\Delta \overrightarrow {r}}|, il suffit de se référer à la soustraction de vecteurs​.

Les vecteurs vitesse

Le vecteur vitesse correspond au rapport entre le vecteur déplacement et le temps écoulé. Un tel vecteur a une composante horizontale (vitesse horizontale) et une composante verticale (vitesse verticale).

Dans le schéma suivant, les vecteurs |\color{blue}{\overrightarrow{v_1}}, \color{red}{\overrightarrow{v_2}}| et |\overrightarrow{v_3}| sont des vecteurs vitesse.

m1307i10.PNG  

Le travail effectué

​Lorsque la force est parallèle au déplacement​

||W= F \times \Delta x||
où |W| est le travail effectué (en J), |F| est la force appliquée (en N) et |\Delta x| est la grandeur du déplacement (en m).​

​Dans ce contexte, l'application des vecteurs est plutôt banal puisque le travail effectué par la personne est directement appliqué sur la charge. En ce sens, il devient plus intéressant d'effectuer l'analyse du travail à déployer lorsque la force effectuée sur la charge n'est pas parallèle au déplacement.

Lorsque la force n'est pas parallèle au déplacement ​

||W = F \cos \theta \times \Delta x||
où |W| est le travail effectué (en J), |F \cos \theta| est la composante de la force parallèle au déplacement (en N), |\theta| est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement et |\Delta x| est le déplacement (en m). ​

Ainsi, il faut prendre le temps de biena analyser la situation et de se faire un dessin afin d'associer chacune des mesures aux différentes composantes du contexte.

Avec la date fatidique du |1^\text{er}| juillet qui approche, Bill doit déménager tous ses meubles dans son nouvel appartement. Puisque sa laveuse est beaucoup trop pesante pour être soulevée, il décide d'y attacher une corde et de la tirer.
m1307i11.PNG 
Ainsi, quel travail devra effectuer Bill pour la déplacer sur une distance de 1​5 m s'il déploie une force de |130 \ N| et que la corde qu'il utilise forme un angle de |35^\circ| par rapport à l'horizontal en négligeant la force de frottement?​​​

1) Analyser la situation

Dans le cas présent, le travail effectué n'est pas parallèle au vecteur de déplacement. Ainsi, on utilisera la formule
||W = F \cos \theta \times \Delta x||
2) Appliquer la formule appropriée
Puisque la mesure de l'angle donnée est celle composée par le vecteur force et le vecteur déplacement,on utilise la formule suivante:
||\begin{align} W &= \color{red}{F} \cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}\\
&= \color{red}{130} \cos \color{blue}{35^\circ} \times \color{green}{15}\\
&\approx 1597 \ J \end{align}||
3) Interpréter la réponse
Bill devra effectuer un travail de 1597 joules pour déménager sa laveuse.

​Par contre, ce n'est pas toujours l'angle formé par le vecteur force et le vecteur déplacement qui est fourni. 

Une fois rendu à son escalier, Bill décide d'y installer une planche d'une longueur de 15 m afin de créer un plan incliné. De cette façon, la force de gravité (environ |9,8 N|) apportera la laveuse saine et sauve au bas des marches. En négligeant la force de frottement, quel sera le réel travail effectué par la force gravitationnelle si le plan est incliné à |40^\circ|?
m1307i14.PNG 
1) Analyser la situation
Dû à la présence de triangles semblables, on peut déduire la mesure de l'angle de |40^\circ| à deux endroits. Pour appliquer la formule, on doit obtenir la valeur de |\color{blue}{\theta}|. Puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à |180^\circ|, on déduit que
 ||\begin{align} \color{blue}{\theta} &= 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ \\
&= 50^\circ \end{align}||
2) Appliquer la formule appropriée
 ||\begin{align}W &= \color{red}{F} \cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}\\
&= \color{red}{9,8} \cos \color{blue}{50^\circ} \times \color{green}{15}\\
& \approx 104\ J \end{align}||
3)Interpréter la réponse
La force gravitationnelle exercera un travail d'environ 104 joules pour faire descendre la laveuse de Bill.​
​​

Fait à noter, il existe plusieurs démarches différentes pour résoudre ce genre de problème. Dans le cas présent, le but était simplement d'illustrer l'utilisation de la formule présentée au début de la section. Or, on peut arriver à la même réponse en utilisant des concepts qui sont reliés à la section "physique​" de la bibliothèque virtuelle. 

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Les exercices
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