Mathématique m1326

Les lieux géométriques (coniques)

​​​​​​​​Dans la section de la géométrie analytique, les concepts de base sont souvent créés à partir des points de rencontre entre des segments, des figures et des solides. Par ailleurs, le cas des coniques n'y fait pas exception.​

Le lieu géométrique​

​​​Un lieu géométrique est un ensemble de points d'un espace géométrique qui sont caractérisés par une propriété métrique commune.

Par exemple, la médiatrice d'un segment est le lieu géométrique de tous les points qui sont situés à égale distance des deux extrémités de ce segment.  

 
 

De plus, il est également possible de travailler avec des lignes courbes et des plans à deux ou trois dimensions afin de créer le lieu géométrique voulu.​

​​​​​​​​​​​​​​​​Les coniques

Une section conique ou conique est une courbe que l'on obtient en coupant une surface conique à deux nappes par un plan.

La surface conique à deux nappes est créée par la révolution d'une génératrice autour d'un axe de révolution.

 


Selon la position d'un plan qui coupe une surface de la conique, on obtient un lieu géométrique différent.​

Les caractéristiques des coniques

Les différentes coniques présentent une multitude de caractéristiques qu'il est important de connaître. Certaines sont particulières à une seule conique alors que d'autres sont communes à toutes. 

Rayon

Le rayon d'un cercle, généralement noté |r|, est le segment de droite reliant le centre du cercle à n'importe quel point sur le cercle lui-même.​
 

Sur le schéma précédent, le rayon du cercle est représenté par le segment de droite bleu. On remarque également que si la longueur du rayon change, la dimension du cercle est affectée. 

Axe de symétrie

L'axe de symétrie est un axe qui sépare la figure en deux portions égales.

Dans le cas présent, il est important de faire la différence entre un axe de symétrie et un axe de réflexion. Pour ce qui est de l'axe de réflexion, il ne partage pas nécessairement la figure en deux parties égales.​

Cercle
Comme le démontre l'animation suivante, il existe une infinité d'axes de symétrie dans un cercle. 

 


Ellipse
Dans son cas, elle ne compte que 2 axes de symétrie.
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Sommet

Dépendamment de la conique qu'on analyse, la définition du sommet peut varier. Ellipse
Les sommets d'une ellipse sont les |4| points situés à ses extrémités.

Hyperbole
Les sommets d'une hyperbole sont les points situés à l'extrémité de chacune des branches.

Parabole
Le sommet d'une parabole est le point situé à son extrémité.
Afin de bien comprendre chacun de ses différentes, on peut représenter le tout de la façon suivante.

Les quatre sommets d'une ellipse

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Les deux sommets d'une hyperbole​

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Le sommet d'une parabole

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Foyer

Le foyer d'une conique est un point qui sert à la définir. On utilise habituellement le concept de foyer lorsqu'on caractérise les coniques suivantes:

Directrice

La directrice est une droite servant à définir un lieu géométrique.Cette droite (ci-bas en bleu) permet de définir la parabole, qui est en fait le lieu des points situés à la même distance d'un point fixe (le foyer) et d'une droite appelée directrice.

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Asymptote

Une asymptote est une droite vers laquelle une courbe s'approche de plus en plus sans toutefois l'atteindre. On dit alors que la distance entre un point sur la courbe et l'asymptote tend vers 0 (sans ne jamais être 0).Parmi les coniques étudiées dans cette fiche, seule ​l'hyperbole​​ possède des asymptotes, qui sont au nombre de deux. Sur le schéma ci-dessous, l'hyperbole est représentée par la ligne bleu foncé alors que les asymptotes sont tracées en turquoise.

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