Mathématique m1330

La parabole (conique)

​​​​​​​​​​​​Une parabole est le lieu géométrique de tous les points situés à égale distance d’une droite fixe appelée directrice et d'un point fixe appelé foyer.

Caractéristiques de la parabole

|\bullet| La parabole possède un seul foyer. 

|\bullet| La droite perpendiculaire à la directrice de la parabole et qui passe par le foyer est l'axe de symétrie de la parabole.

|\bullet| Le sommet de la parabole est le point d'intersection entre l'axe de symétrie de la parabole et celle-ci.

Les équations de la parabole 

Parabole horizontale
De base
|y^2 =  4cx|

Transformée
|(y-k)^2 =  4c(x-h)|

Parabole verticale
De base
|x^2 =  4cy|

Transformée
|(x-h)^2= 4c(y-k)|

avec |(h,k)=| coordonnées du sommet de la parabole.

Dans l'équation transormée de la parabole, le paramètre |c| joue le même rôle que lorsqu'elle est centrée à l'origine.

Relations dans la parabole

​​parabole verticaleParabole horizontale
​Définition​  Tous les points sont à une même distance d'un point fixe (foyer) et d'une droite (directrice)   
 ​​Valeur de |\mid c \mid|    |\tiny​​​​​​\bullet|distance entre le sommet et le foyer
OU
  |\tiny\bullet| distance entre le sommet et la directrice​
​​Orientation    |c > 0|: Ouverture vers le haut
  |c< 0| : Ouverture vers le bas
  |c > 0|: Ouverture vers la ​droite
  |c< 0| : Ouverture vers la gauche
​​​​​​Parabole de base​Sommet |\small S:(0,0)|
​Foyer  |\small F:(0,c)|​Foyer​ |\small F : (c,0)|
​Directrice  |\small y = \text{-}c|​Directrice​ |\small x = \text{-}c|
​​Parabole 
transformée
​Sommet​  |\small S: (h,k)| ​
​Foyer​  |\small F:(h,k+c)|​Foyer |\small F:(h+c, k)|
​Directrice  |\small y = k - c|​Directrice​ |\small x = h - c|


Voici une animation permettant de bien saisir les différentes relations et le rôle des paramètres dans la parabole.

Le latus rectum est un segment de droite qui passe par le foyer de la parabole et qui est perpendiculaire à l'axe de symétrie de celle-ci. La longueur du latus rectum de la parabole est |4c|. Le latus rectum détermine l’ouverture de la parabole au foyer.

Déterminer l'équation d'une parabole à partir d'un graphique

On peut déterminer l'équation d'une parabole de la façon suivante
1. Déduire le paramètre |c| et les paramètres |h| et |k|, s'il y a lieu.

2. Déterminer le signe du paramètre |c| ainsi que l'équation à utiliser à l'aide de l'orientation de la parabole.

3. Écrire l'équation de la parabole.

Exemple 1

Détermine l'équation de la parabole suivante.

m1330i10.png 

1.  La parabole est centrée à l'origine donc |h=0| et |k=0|. De plus, la distance entre le sommet de la parabole et la directrice est de |10|, on a donc |\vert c\vert =10|

2.  On remarque que la parabole est horizontale, centrée à l'origine et ouverte vers la droite. Le paramètre |c| sera donc positif et l'équation sera de la forme suivante: ||y^2=4cx||3.  En remplaçant la valeur des paramètres, on obtient: ||y^2=4(10)x\quad\Rightarrow\quad y^2=40x||C'est l'équation recherchée.

Exemple 2

Détermine l'équation de la parabole suivante.
m1330i11.png 
1.  On sait que la distance entre le foyer et le sommet est égal à la distance entre la directrice et le sommet. De cette propriété, on peut retrouver les informations suivantes:

Distance entre le foyer et la directrice est égale à |2\vert c\vert|.
||\begin{align}2\vert c\vert &=\vert3-\text{-}5\vert \\
2\vert c\vert &=8\\
\vert c\vert &=4\end{align}||

On peut trouver les coordonnées |(h,k)| du sommet en ajoutant la valeur de |\vert c\vert=4| à l'ordonnée du foyer.

||\begin{align}(h,k)&= (\text{-}6,\text{-}5+4)\\ &= (\text{-}6,\text{-}1)\end{align}||

2. On remarque que la parabole est verticale et ouverte vers le bas. Le paramètre |c| sera donc négatif et l'équation sera de la forme suivante: ||(x-h)^2=4c(y-k)||
3. En remplaçant la valeur des paramètres, on obtient: ||(x-\text{-6})^2=4(\text{-}4)(y-\text{-1})\quad \Rightarrow \quad (x+6)^2=-16(y+1)||C'est l'équation recherchée.

Tracer une parabole à partir de son équation

1.  Déterminer l'orientation de la parabole.

2.  Déterminer les coordonnées du sommet |h| et |k| (s'il y a lieu).

3.  Positionner le foyer et la droite directrice (à l'aide du paramètre |c|).

4.  Trouver d'autres points sur la parabole à l'aide de l'équation.

Tracer la parabole dont l'équation est ||(y-1)^2 = \text{-}8 (x + 3)||.

1.Déterminer l'orientation de la parabole.
En analysant l'équation de la parabole, on remarque qu'elle sera horizontale. De plus, le paramètre |c| est négatif. La parabole sera donc ouverte vers la gauche.

2.Déterminer les coordonnées du sommet |h| et |k|. 
Le sommet est |\small (h,k)=(-3, 1)|.

3. Positionner le foyer et la droite directrice (à l'aide du paramètre |c|).
On sait que |\small 4c=\text{-}8| en regardant l'équation de notre parabole. On trouve donc que |\small c = \text{-}2|­. La distance entre le foyer et le sommet ainsi que la distance entre la directrice et le sommet est de ||\vert c \vert=\vert -2\vert =2||Alors, le foyer se trouve au point |\small (\text{-}5, 1)| et La droite directrice se trouve en |\small x =\text{-}1|.

4. En utilisant l'équation de la parabole, il est possible de trouve d'autres points permettant de tracer la parabole convenablement. En voici deux: |\small (\text{-}5, 5)| et  |\small (\text{-}5, \text{-}3)|.

À l'aide de ces informations, il est possible de tracer une esquisse de la parabole représentée par l'équation ||(y-1)^2 = \text{-}8 (x + 3)||
m1330i12.png 

L'inéquation d'une parabole

Dans une parabole, lorsque l'on veut représenter une région délimitée par cette dernière, on applique les relations suivantes:
L'intérieur d'une parabole correspond à la région où se situe le foyer.

Ces régions sont identiques dans une parabole de forme canonique.

Secteur du plan Représentation
graphique
Équation ou inéquation
correspondante
Lorsqu'on veut représenter la région intérieure délimitée par la parabole.
 
 
||x^2<4cy||
||y^2<4cx||
La parabole elle-même.
 
 

||x^2=4cy||
||y^2=4cx||
Lorsqu'on veut représenter la région extérieure délimitée par la parabole.
 
 

||x^2>4cy||
||y^2>4cx||

On inclut la courbe elle-même si le signe d'inégalité est |\leq| ou |\geq|.

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Les exercices
Les références