Mathématique m1332

Les coordonnées des points d'intersection entre une droite et une conique

Pour trouver le ou les points d'intersection entre une conique et une droite, on utilise la méthode de substitution.Le reste de cette fiche donne des exemples pour le ou les points de rencontre d'une droite avec chacune des coniques.

Les points de rencontre entre une droite et une parabole

Soit les équations suivantes:

|\left\{\begin{matrix}
(x-4)^2=16(y+2)\\
y=3x+4
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation de la parabole par son expression équivalente dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |(3x+4)|.

|\bullet| Ensuite on rend l'équation égale à zéro.

|(x-4)^{2}=16((3x+4)+2)|
 
|x^{2}-8x+16=16(3x+6)|

|x^{2}-8x+16=48x+96|

|x^{2}-56x-80=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de |x|, ce qui donne:

|\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2}=\frac{56\pm\sqrt{(-56)^{2} -4 \cdot 1 \cdot -80}}{2\cdot 1}|

On obtient |x_1=-1,39| et |x_2=57,39|.

|\bullet| On remplace les deux valeurs de |x| trouvées pour trouver les couples solutions:
|y=3(-1,39)+4| et  |y=3(57,39)+4|.

Les coordonnées des points d'intersection entre la parabole et la droite sont: |(-1,39 ; -0,18)| et |(57,39 ; 176,18)|.

​​

Il se peut qu'il n'y ait:
-Aucun point d'intersection;
-Un seul point d'intersection;
-Deux points d'intersection.

Les points de rencontre entre une droite et une ellipse ou une hyperbole

Que ce soit pour une hyperbole ou pour une ellipse, on utilise la même technique.

Soit les équations suivantes:
| \left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{(x+2)^2}{36}+\frac{(y-3)^2}{49}=1\\
y=x+1
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation de l'ellipse par son expression équivalente dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |(x+1)|.

|\displaystyle \frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x+1-3)^{2}}{49}=1|

|\displaystyle \frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x-2)^{2}}{49}=1|

|\bullet| On met les fractions sur un dénominateur commun.

|\displaystyle \frac{49(x+2)^{2}}{1764}+\frac{36(x-2)^{2}}{1764}=1|

|\bullet| On met l'équation égale à zéro.
 
|\displaystyle \frac{49(x+2)^{2}+36(x-2)^{2}}{1764}=1|
 
|\displaystyle 49(x^{2}+4x+4)+36(x^{2}-4x+4)=1764|
 
|49x^{2}+196x+196+36x^{2}-144x+144=1764|
 
|85x^{2}+52x-1424=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de |x|, ce qui donne:

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-52 \pm \sqrt{52^2 -4\cdot 85 \cdot -1424}}{2 \cdot 85}|

On obtient |x_1=-4,4| et  |x_2=3,8|

|\bullet| On remplace les deux valeurs de |x| trouvées pour trouver les couples solutions:
|y=(-4,4)+1| et |y=(3,8)+1|

Les coordonnées des points d'intersection entre l'ellipse et la droite sont: |(-4,4 ; -3,4)| et |(3,8 ; 4,8)|.

 

Les points de rencontre entre une droite et un cercle

​Soit les équations suivantes:

| \left\{\begin{matrix}
\displaystyle (x-1)^2+(y+2)^2=16\\
y=2x+1
\end{matrix}\right.|.

|\bullet| On remplace |y| dans l'équation du cercle par son équivalent dans l'équation de la droite, c'est-à-dire |2x+1|.

|\bullet| On rend l'équation égale à zéro.

|(x-1)^2+(2x+1+2)^2=16|

|(x-1)^2+(2x+3)^2=16|

|x^2-2x+1+4x^2+12x+9=16|

|5x^2+10x+10=16|

|5x^2+10x-6=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour déterminer les valeurs de |x|.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 5 \cdot -6}}{2 \cdot 5}|

On obtient |x_1  = 0,48| et |x_2=-2,48|.

|\bullet| On remplace dans l'équation de la droite |x| par les valeurs trouvées précédemment.

|y=2 \cdot 0,48 + 1 = 1,96|
|y=2 \cdot -2,48 + 1 = -3,96|

On a alors les coordonnées des deux points d'intersection entre le cercle et la droite: |(0,48;1,96)| et |(-2,48;-3,96)|.

 

Il se peut qu'il n'y ait:
-Aucun point d'intersection;
-Un seul point d'intersection;
-Deux points d'intersection.

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