Mathématique m1333

Les coordonnées des points d'intersection entre une parabole et une autre conique

Pour trouver les points d'intersection entre une conique et une parabole, on utilise la méthode de substitution ou de comparaison.Le reste de cette fiche donne des exemples pour le ou les points d'intersection de la parabole avec les autres coniques.

La résolution de tels problèmes peut s'avérer passablement ardue et, dans certains cas, elle dépasse le niveau secondaire.

De plus, contrairement à l'intersection des coniques avec une droite, il peut y avoir entre |0| et |4| points d'intersections.

Il peut être utile de réviser les notions sur la résolution d'une équation du second degré à une variable.

Les points de rencontre entre deux paraboles

​Soit les équations suivantes:


|\left\{\begin{matrix}
\displaystyle y^2=8(x+3)\\
y^2=16x
\end{matrix}\right.|


|\bullet| On remplace |y^2| dans la première équation par son équivalent dans la seconde, c'est-à-dire par |16x|. Ensuite, on isole |x|.

|8(x+3)=16x|
|8x+24=16x|
|24=8x|
|3=x|

|\bullet| On remplace |x| dans l'une ou l'autre des deux équations.

|y^2=16(3)|

|y=\pm\sqrt{48}|

Les deux couples sont: |(3,\sqrt{48})| et |(3,-\sqrt{48})|.

 

Les points de rencontre entre une parabole et une ellipse ou une hyperbole

​ ​

Soit les équations suivantes:
|\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{x^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9}=1\\
x^2=18(y+5)
\end{matrix}\right.|

On s'intéresse donc aux points d'intersection entre une hyperbole et une parabole.

|\bullet| On remplace le |x^2| de la première équation par son équivalent dans la seconde, c'est-à-dire par |18(y+5)|.

|\bullet| On rend l'équation égale à zéro.

|\displaystyle \frac{18(y+5)}{4} - \frac{(y+3)^2}{9}=1|

|\displaystyle \frac{18y+90}{4} - \frac{(y+3)^2}{9}=1|

On multiplie les deux côtés de l'égalité par |36| qui est un multiple commun de |4| et de |9|.

|9(18y+90) - 4(y+3)^2 = 36|

On développe.

|162y +810 - 4(y^2+6y+9) = 36|

|162y+810 - 4y^2 - 24y - 36 = 36|

|-4y^2 + 138y +764 = 36|

|-4y^2 + 138y +738=0|

On applique la formule des zéros pour déterminer les valeurs de |y|.

|y_{1,2} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|y_{1,2} = \displaystyle \frac{-138 \pm \sqrt{138^2 - 4 \cdot -4 \cdot 738}}{2 \cdot -4}|

On obtient |y_1 =-4,71| et |y_2=39,21|.

|\bullet| Il faut maintenant remplacer |y| dans l'une ou l'autre des deux équations de départ afin de trouver les valeurs de |x|.

|x^2 = 18(-4,71+5) \Rightarrow x = \pm \sqrt{5,22} \approx \pm 2,28|

|x^2 = 18(39,21+5) \Rightarrow x = \pm \sqrt{795,28} \approx \pm 28,21|

Ainsi, on a les points |(-2,28;-4,71),(2,28;-4,71),(28,21;39,21)| et |(-28,21;39,21)|.

 

Les points de rencontre entre une parabole et un cercleLorsqu'il n'y a aucun point d'intersection.

Soit les équations suivantes:

|\left\{\begin{matrix}
\displaystyle x^2+y^2=36\\
y^2=-16(x-7)
\end{matrix}\right.|

|\bullet| On remplace |y^2| dans la première équation par son expression équivalente dans la seconde, c'est-à-dire par |-16(x-7)|.

|\bullet| On rend l'équation égale à 0.

|x^{2}+(-16(x-7))=36|

|x^2 -16x + 112 =36|

|x^2 - 16x + 76=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour trouver les valeurs de |x|.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2-4 \cdot 1 \cdot 76}}{2 \cdot 1}|

On obtient que l'intérieur de la racine carrée vaut |-48|.

Cela signifie qu'il n'y a aucun point d'intersection entre la parabole et le cercle. En effet, l'intérieur d'une racine carrée ne peut pas être négatif.

 

Lorsqu'il y a au moins un point d'intersection.

Soit les équations suivantes:

|\left\{\begin{matrix}
\displaystyle (x-3)^2+y^2=36\\
y^2=-16(x-7)
\end{matrix}\right.|

|\bullet| On remplace |y^2| dans la première équation par son expression équivalente dans la seconde, c'est-à-dire par |-16(x-7)|.

|\bullet| On rend l'équation égale à 0.

|(x-3)^2+(-16(x-7))=36|

|(x-3)^2-16x+112=36|

|x^2-6x+9-16x+112=36|

|x^2-22x+121=36|

|x^2-22x+85=0|

|\bullet| On utilise la formule des zéros pour trouver les valeurs de |x|.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2-4 \cdot 1 \cdot 85}}{2 \cdot 1}|

On obtient |x_1=5| et |x_2=17|.

|\bullet| On remplace |x| dans l'une ou l'autre des deux équations de départ afin de trouver |y|.

|y^2=-16(5-7) \Rightarrow y = \pm \sqrt{32} \approx \pm 5,66|

|y^2 = -16(17-7) = -160|, ce qui est impossible. On rejette donc cette valeur.

On a donc comme points d'intersection: |(5;-5,66)| et |(5;5,66)|.

 

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