Mathématique m1338

Les expériences aléatoires simples et composées

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine. On ne peut en mesurer que la probabilité.

Le résultat d'une expérience aléatoire est le fruit du hasard. Dans ce genre d'expérience, on peut connaître les résultats qu'il est possible d'obtenir, mais le résultat qui sera réellement obtenu dépend du hasard. Ainsi, une expérience est aléatoire si:

|\bullet| son résultat dépend du hasard, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être prédit avec certitude;

|\bullet| l'univers des résultats possibles peut être décrit avant l'expérience.

Selon le nombre d'étapes qui la composent, on peut avoir deux types d'expériences aléatoires:

L'expérience aléatoire simple

Une expérience aléatoire simple est une expérience aléatoire qui se réalise en une seule étape.

L'univers des résultats possibles lors d'une expérience aléatoire simple est formé par l'énumération entre accolades de tous les résultats qu'il est possible d'obtenir. Dans ce cas, la probabilité d'un événement s'exprime simplement par le rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombres de résultats possibles au total.

On lance un dé à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un 2?
Il n'y a qu'un résultat favorable (le 2) sur un total de 6 résultats possibles (les 6 faces du dé).
La probabilité est donc de «1 chance sur 6» ou |\frac{1}{6}|.

Si on pige une bille dans un sac contenant trois billes vertes, deux billes rouges et une bille bleue, quelle est la probabilité de piger une bille verte?
Il y a trois résultats favorables (trois billes vertes) sur un total de 6 résultats possibles (les six billes du sac).
La probabilité est donc de «3 chances sur 6» ou |\frac{1}{2}|.

Lorsqu'un événement simple est composé de plusieurs résultats possibles, il suffit d'additionner la probabilité de chaque résultat pour déterminer la probabilité de l'événement.

On lance un dé à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un 1 ou un 4?
Il y a deux résultats favorables (les chiffres 1 et 4) sur un total de 6 résultats possibles (les 6 faces du dé).
La probabilité est donc de «2 chances sur 6» ou |\frac{1}{3}|.

Si on pige une bille dans un sac contenant trois billes vertes, deux billes rouges et une bille bleue, quelle est la probabilité de piger une bille verte ou une bille rouge?

Il y a cinq résultats favorables (trois billes vertes et deux billes rouges) sur un total de 6 résultats possibles (les six billes du sac).
La probabilité est donc de «5 chances sur 6» ou |\frac{5}{6}|.

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires lors d'une expérience aléatoire simple est égale à 1.

L'expérience aléatoire composée

Une expérience aléatoire composée est une expérience aléatoire qui se réalise en plusieurs étapes. 

Une expérience aléatoire composée est donc une suite d'expériences qui sont elles-mêmes aléatoires. Pour déterminer le nombre de résultats possibles lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il suffit de multiplier le nombre de résultats possibles correspondant à chacune des étapes.


On lance un dé à six faces deux fois de suite. Il y a donc 36 résultats possibles puisqu'il y a 6 résultats possibles lors du premier tirage et 6 résultats possibles lors du deuxième tirage.
|6\times 6 = 36|
On pige trois cartes dans un jeu de 52 cartes, sans remettre la carte pigée dans le jeu. Il y a donc 132600 résultats possibles puisqu'il y a 52 résultats possibles à la première pige, 51 résultats possibles à la deuxième pige et 50 résultats possibles à la troisième pige.
|52\times 51\times 50 = 132 600|

Une expérience aléatoire à plusieurs étapes peut être réalisée avec ou sans remise:
Expériences aléatoires composées avec et sans remise

Dans une expérience aléatoire composée, la probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités des événements élémentaires de chaque étape.

|\mathbb{P}(A \text{ suivi de } B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)|

|\mathbb{P}(A)|: probabilité du premier événement
|\mathbb{P}(B)|: probabilité du deuxième événement

On lance un dé à six faces deux fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 suivi d'un 4?

La probabilité d'obtenir un 3 au premier tirage est |\frac{1}{6}| et la probabilité d'obtenir un 4 au deuxième tirage est |\frac{1}{6}|. On doit multiplier les probabilités de chaque événement élémentaire pour obtenir la probabilité de l'événement complet.

|\frac{1}{6}\times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}|

On pige trois cartes dans un jeu de 52 cartes, sans remettre la carte pigée dans le jeu. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans l'ordre, deux cartes rouges et une carte noire?

La probabilité d'obtenir une carte rouge au premier tirage est |\frac{26}{52}|, la probabilité d'obtenir une carte rouge au deuxième tirage est |\frac{25}{51}| et la probabilité d'obtenir une carte noire au dernier tirage est |\frac{26}{50}|. On doit multiplier les probabilités de chaque événement élémentaire pour obtenir la probabilité de l'événement complet.

|\frac{26}{52}\times \frac{25}{51}\times \frac{26}{50} = \frac{16 900}{132 600} ou \frac{13}{102}|

De plus, on peut considéré que l'ordre de tirage est important ou non:
Expériences aléatoires composées avec et sans ordre

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Les exercices
Les références