Mathématique m1343

Expériences aléatoires composées avec et sans remise

Une expérience aléatoire composée comportant des tirages consécutifs peut être réalisée avec remise ou sans remise.

Expérience aléatoire composée avec remise

Une expérience aléatoire avec remise est une expérience lors de laquelle un élément pigé est toujours remis dans l'univers des possibles avant le tirage suivant.

Dans une expérience aléatoire composée avec remise, la probabilité d'un événement reste identique durant toute l'expérience. On dit alors que les événements intermédiaires sont indépendants l'un de l'autre puisque les résultats possibles sont les mêmes pour chaque étape.

Si on tire consécutivement deux billes, avec remise, d'un sac contenant 7 billes de couleurs différentes:

Afin de déterminer la probabilité d'un événement lors d'une expérience aléatoire composée, il suffit de multiplier la probabilité de chacun des événements dans l'ordre.

|\mathbb{P}(A\, suivi\, de\, B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)|
 

|\mathbb{P}(A)|: probabilité du premier événement
|\mathbb{P}(B)|: probabilité du deuxième événement

Dans un bocal opaque, on place 3 cartons blancs et 5 cartons noirs. Dans un tirage avec remise, si une personne tire deux cartons blancs, il gagne un prix de participation.
Quelle est la probabilité qu'un participant pige deux cartons blancs?

Étape 1: Déterminer la probabilité de chacun des événements.
Puisque c'est un tirage avec remise, lorsque la personne pige un premier carton, il doit le remettre dans le bocal pour la seconde pige. Donc, dans chacun des deux cas, il y a 8 cartons dans le bocal.
Ici, on doit déterminer la probabilité de piger un carton blanc ou de piger un carton noir
|\mathbb{P}(Blanc)=\frac{3}{8}|
|\mathbb{P}(Noir)=\frac{5}{8}|
 
Étape 2: Déterminer la probabilité de la question
À cette étape, on utilise la formule mentionnée ci-haut. Donc on doit déterminer la probabilité de piger deux cartons blancs.
|\mathbb{P}(Blanc\, suivi\, de\, Blanc)=\mathbb{P}(Blanc)\times \mathbb{P}(Blanc)|
|\mathbb{P}(Blanc\, suivi\, de\, Blanc)=\frac{3}{8}\times \frac{3}{8}|
|\mathbb{P}(Blanc\, suivi\, de\, Blanc)=\frac{9}{64}|

Lors d’une fête, l'organisateur offre un jeu de hasard qui consiste à piger trois billes dans un sac. Si la personne pige trois billes de même couleur, elle gagne un prix de présence. Dans le sac, il y a:
- 4 billes noires (N)
- 4 billes lilas (L)
- 2 billes blanches (B).

On veut calculer la probabilité de piger 3 billes de la même sorte. Lorsqu’on en a pigé un, on la remet dans le sac.

Étape 1 : On se représente la situation par un arbre.

Étape 2 : On identifie l’événement recherché
On veut 3 billes de la même sorte. Donc on peut avoir :

3 billes noires (N) ou 3 billes lilas (L) ou 3 billes blanches (B).

Puisqu'il y a trois événements possibles, on doit additionner chacune de ces probabilités. Ce qui se traduit en mathématiques:
|\mathbb{P} = \mathbb{P}(N, N, N) + \mathbb{P}(L, L, L) + \mathbb{P}(B, B, B)|

Étape 3 :
On calcule la probabilité de chaque résultat possible.
|\mathbb{P}(N,N,N)=\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{64}{1000}=\frac{8}{125}|

|\mathbb{P}(L,L,L)=\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{64}{1000}=\frac{8}{125}|

|\mathbb{P}(B,B,B)=\frac{2}{10}\times\frac{2}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{8}{1000}=\frac{1}{125}|
 
Étape 4 : On calcule la somme des probabilités
|\mathbb{P} = \mathbb{P}(N, N, N) + \mathbb{P}(L, L, L) + \mathbb{P}(B, B, B)=\frac{8}{125}+\frac{8}{125}+\frac{1}{125}|

|\mathbb{P} = \mathbb{P}(N, N, N) + \mathbb{P}(L, L, L) + \mathbb{P}(B, B, B)=\frac{17}{125}|

On a donc 17 chances sur 125 de piger trois billes de la même sorte.

Expérience aléatoire composée sans remise

Une expérience aléatoire sans remise est une expérience lors de laquelle un élément pigé n'est pas remis dans l'univers des possibles avant le tirage suivant.

Dans une expérience aléatoire composée sans remise, la probabilité d'un événement influence donc les événements suivants dans l'expérience. On dit alors que les événements intermédiaires sont dépendants l'un de l'autre puisque les résultats possibles sont différents d'une étape à l'autre. 

Si on tire consécutivement deux billes, sans remise, d'un sac contenant 7 billes de couleurs différentes, le résultat pourrait être:

Afin de déterminer la probabilité d'un événement lors d'une expérience aléatoire composée, il suffit de multiplier la probabilité de chacun des événements dans l'ordre.

|\mathbb{P}(A\, suivi\, de\, B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)|

|\mathbb{P}(A)|: probabilité du premier événement
|\mathbb{P}(B)|: probabilité du deuxième événement

Dans un jeu de hasard, un participant doit piger deux cartons dans une urne contant 2 cartons noirs et 5 cartons blancs. Lorsqu'il pige le premier carton, il ne le remet pas dans l'urne. S'il pige deux cartons noirs, le participant se voit remettre un prix de participation. 
Quel est la probabilité de piger deux cartons noirs |\mathbb{P}(N,N)|?

Étape 1: Déterminer la probabilité de chaque événement.
-Dans la première pige, il y a 7 cartons en tout et 2 cartons noirs. La probabilité sera donc: |\mathbb{P}(N)=\frac{2}{7}|
-Dans la deuxième pige, il reste 6 cartons en tout et 1 carton noir dans l'urne, car on ne remet pas celui tiré à la première pige. La probabilité sera donc: |\mathbb{P}(N)=\frac{1}{6}|

Étape 2: Calcul de la probabilité
On applique la formule ci-haut: |\mathbb{P}(A\, suivi\, de\, B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)|
 
|\mathbb{P}(N,N)=\mathbb{P}(N)\times \mathbb{P}(N)|

|\mathbb{P}(N,N)=\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}=\frac{2}{42}=\frac{1}{21}|

Donc le participant a 1 chance sur 21 de piger 2 cartons noirs dans cette situation.

Lors d’un anniversaire, un invité pige 3 types de chocolats  dans une boîte. Évidemment lorsqu'il a pigé un chocolat dans la boîte, il ne le remet pas dans celle-ci. Dans cette boîte, il y a;
- 4 chocolats noirs (N)
- 4 chocolats au lait (L)
- 2 chocolats blancs (B).
Quelle est la probabilité de piger trois chocolats de la même sorte?

Étape 1: On se représente la situation par un arbre.
Comme la pige est sans remise, on doit prendre en considération que le nombre de chocolats dans la boîte diminue après chaque pige. Par exemple, lorsque l’on a pigé un chocolat noir, on doit se demander combien il en reste dans la boîte pour la deuxième pige.
- Nombre de chocolat au total : 10 – 1 = 9 chocolats dans la boîte
- De la sorte pigée précédemment : 4 – 1 = 3 chocolats noirs dans la boîte



Étape 2: On identifie les probabilités possibles que l'événement se réalise. On veut 3 chocolats de la même sorte. Comme il n'y a que 2 chocolats blancs dans la boîte, il est impossible de piger 3 chocolats de cette sorte. On peut donc avoir:

3 chocolats noirs ou 3 chocolats au lait

Ce qui se traduit en mathématiques :

|\mathbb{P}((N, N, N) \text{ ou } (L, L, L)) = \mathbb{P}(N, N, N) + \mathbb{P}(L, L, L)|

Étape 3: On calcule la probabilité de chaque résultat possible.
|\mathbb{P}(N,N,N)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}\times\frac{2}{8}=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}|

|\mathbb{P}(L,L,L)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9}\times\frac{2}{8}=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}|

Étape 4: On calcule la somme des probabilités.
|\mathbb{P}((N, N, N) \text{ ou } (L, L, L)) = \frac{1}{30}+ \frac{1}{30}= \frac{2}{30}= \frac{1}{15}|

On a donc 1 chance sur 15 de piger trois chocolats de la même sorte.


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