Mathématique m1344

Expériences aléatoires composées avec ou sans ordre

Dans une expérience aléatoire composée, on peut tenir compte de l'ordre des résultats ou ne pas en tenir compte.

Généralement, lorsque l'on ne tient pas compte de l'ordre des résultats, l'univers des résultats possibles |\Omega| contient moins de résultats.

Expérience aléatoire composée avec ordre

On définit une expérience aléatoire composée avec ordre lorsque l'on veut que les événements de l'expérience se suivent selon une séquence particulière.

Dans une expérience aléatoire composée réalisée avec ordre, les résultats (P,F) et (F,P) ne sont pas les mêmes. En effet, ici on tient compte de l'ordre des résultats.

Dans un sac, il y a 3 billes vertes et 2 rouges. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d'une bille verte suivie d'une bille rouge si l'on remet la bille dans le sac après chaque pige?
Dans cet exemple, on demande un ordre précis: bille rouge, bille verte, bille rouge ou |\mathbb{P}(R,V,R)| .

Étape1 : Détermine la probabilité de chaque événement
- La première pige:
Dans la première pige, la probabilité de piger une bille rouge est la suivante:
|\mathbb{P}(R)=\frac{2}{5}|
 
- La deuxième pige:
Dans la deuxième pige, la probabilité de piger une bille verte est la suivante:
|\mathbb{P}(V)=\frac{3}{5}|
 
- La troisième pige:
Dans la troisième pige, la probabilité de piger une bille verte est la suivante:
|\mathbb{P}(R)=\frac{2}{5}|
 
Étape 2: Calcul de la probabilité
On utilise la formule ci-haut pour calculer la probabilité de l'événement dans son ensemble:

|\mathbb{P}(R,V,R)=\mathbb{P}(R)\times \mathbb{P}(V)\times \mathbb{P}(R)|

|\mathbb{P}(R,V,R)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}\times\frac{2}{5}|

|\mathbb{P}(R,V,R)=\frac{12}{125}|

Expérience aléatoire composée sans ordre

On définit une expérience aléatoire composée sans ordre lorsqu'il n'est pas nécessaire que les événements se suivent selon une séquence particulière.

Dans une expérience aléatoire composée réalisée sans ordre, les résultats (P,F) et (F,P) sont les mêmes. En effet, ici on ne tient pas compte de l'ordre.

Dans un sac, il y a 3 billes vertes et 2 rouges. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge et une bille verte si l'on remet les billes dans le sac à chaque pige?

Dans cet exemple, il n'y a pas d'ordre précis sur l'ordre de couleurs lorsque l'on pige les billes. On doit donc sortir tous les événements possibles. Généralement, l'utilisation d'un arbre de probabilités est utile dans ces situations.

Étape1 : Détermine la probabilité de chaque événement

-Piger une bille rouge:
La probabilité de piger une bille rouge est la suivante:
|\mathbb{P}(R)=\frac{2}{5}|
 
-Piger une bille verte:
La probabilité de piger une bille verte est la suivante:
|\mathbb{P}(V)=\frac{3}{5}|

Étape 2: Déterminer l'ensemble des possibilités
Il y a deux possibilités dans cette situation, soit piger une bille rouge suivie d'une verte ou piger une bille verte suivit d'une bille rouge.

Lorsque deux événements sont possibles pour répondre à une situation, la probabilité de la question sera la somme de ces deux événements.

|\mathbb{P}(R \text{ ou } V)= \mathbb{P}(R,V)+ \mathbb{P}(V,R)|
 
Étape 3: Calcul de la probabilité
On doit déterminer la probabilité suivante |\mathbb{P}(R,V)| et |\mathbb{P}(V,R)|. On utilise la formule ci-haut pour calculer la probabilité de l'événement.

|\mathbb{P}(R,V)=\mathbb{P}(R)\times \mathbb{P}(V)|
|\mathbb{P}(R,V)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}|
|\mathbb{P}(R,V)=\frac{6}{25}|

|\mathbb{P}(V,R)=\mathbb{P}(V)\times \mathbb{P}(R)|
|\mathbb{P}(V,R)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{5}|
|\mathbb{P}(V,R)=\frac{6}{25}|

On fait la somme de ces probabilités pour répondre à la question.

|\mathbb{P}(R \text{ ou } V)= \mathbb{P}(R,V)+ \mathbb{P}(V,R)|
|\mathbb{P}(R \text{ ou } V)= \frac{6}{25}+ \frac{6}{25}|
|\mathbb{P}(R \text{ ou } V)= \frac{12}{25}|

Lorsque l'on s'intéresse au nombre de résultats possibles d'une expérience sans ordre et sans remise, on effectue le calcul suivant:
|\displaystyle \small \begin{matrix}
\text{Nombre de résultats possibles d'une}\\
\text{expérience sans ordre et sans remise}
\end{matrix} = \frac{\text{Nombre de résultats possibles en tenant } \\\text {compte de l'ordre}}{\text{Nombre de façons différentes d'écrire un} \\ \text{résultat en tenant compte de l'ordre}}|

Un sac contient 3 billes: une bleue (B), une rouge (R) et une verte (V).

On veut savoir combien y a-t-il de résultats possibles si l'on pige deux billes sans les remettre dans le sac et si l'on ne tient pas compte de l'ordre.

Si l'on tient compte de l'ordre: |\Omega = \lbrace (B,R), (B,V), (R,B), (R,V), (V,B), (V,R) \rbrace|.

Si l'on tient pas compte de l'ordre: |\Omega = \lbrace (B,R), (B,V), (R,V) \rbrace|.

Pour répondre à la question, on utilise la formule de l'encadré ci-haut et on obtient |6/2=3| résultats possibles en ne tenant pas compte de l'ordre et en effectuant les tirages sans remise.

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Les exercices
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