Mathématique m1346

Les permutations, les arrangements et les combinaisons

Le dénombrement correspond au calcul du nombre de résultats de l'univers des résultats possibles lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes.

Lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, il est souvent utile de dénombrer les résultats possibles pouvant être obtenus. Pour ce faire, on peut recourir à certaines techniques de dénombrement.

Permutation Arrangement Combinaison
Disposition ordonnée de tous les éléments d'un ensemble. Disposition ordonnée d'un certain nombre d'éléments d'un ensemble. Disposition non ordonnée d'un certain nombre d'éléments d'un ensemble.

Lors du dénombrement, on peut tenir compte de l'ordre des résultats ou ne pas en tenir compte. De manière générale, l'univers des résultats possibles est moins étendu lorsqu'on ne tient pas compte de l'ordre des résultats.

La permutation

La permutation d'un ensemble d'éléments est une disposition ordonnée de tous les éléments de cet ensemble.

Deux permutations d'un même ensemble se distinguent par l'ordre de disposition des éléments qui les composent. Par exemple, les permutations possibles d'un ensemble contenant les chiffres de 1 à 3 {1, 2, 3} sont les suivantes: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Puisque tous les éléments de l'ensemble doivent être utilisés, l'expérience aléatoire est toujours sans remise.

Le nombre de permutations d'un ensemble se calcule de la façon suivante:

|\text{Nombre de permutations d'un ensemble à } n \text{ éléments distincts}: \\
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1|

 

On tire quatre billes d'un sac contenant une bille rouge (R), une bille bleue (B), une bille jaune (J) et une bille verte (V). Les résultats possibles sont:
(R, B, J, V), (R, B, V, J), (R, J, B, V), (R, J, V, B), (R, V, B, J), (R, V, J, B), (B, R, J, V), (B, R, V, J), (B, J, R, V), (B, J, V, R), (B, V, R, J), (B, V, J, R), (J, R, B, V), (J, R, V, B), (J, B, R, V), (J, B, V, R), (J, V, R, B), (J, V, B, R), (V, R, B, J), (V, R, J, B), (V, B, R, J), (V, B, J, R), (V, J, R, B), (V, J, B, R).
Il y a donc 24 permutations possibles pour cet ensemble.

Pour simplifier le calcul des permutations possibles, il suffit de multiplier le nombre d'éléments possibles pour chaque événement. Dans ce cas-ci, le calcul sera |4\times 3\times 2\times 1 = 24|.

On peut aussi utiliser la notation factorielle du nombre d'éléments de l'ensemble: |4! = 24|.

 

On peut utiliser la notation factorielle afin de déterminer le nombre de permutations possibles d'un ensemble de |n| éléments.

L'arrangement

L'arrangement d'un ensemble d'éléments est une disposition ordonnée d'un certain nombre d'éléments de cet ensemble.

Deux arrangements d'un même ensemble se distinguent par l'ordre de disposition de leurs éléments. Par exemple, si nous avons un ensemble contenant les lettres {A, B, C}, nous retrouvons les arrangements suivants parmi tous les arrangements possibles de l'ensemble: (A, B) et (B, A).

Le calcul du nombre d'arrangements possibles diffère selon qu'il s'agit d'une expérience avec remise ou sans remise.

Lorsqu'il s'agit d'une expérience sans remise, le nombre d'arrangements possibles se calcule à l'aide de la formule suivante:

|\text{Nombre d'arrangements possibles} = \displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}|

où |n| représente le nombre d'éléments dans l'ensemble et |k| représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble.

 

On choisit au hasard deux lettres dans l'ensemble {D, E, F, G}.

Si l'expérience aléatoire est réalisée sans remise, il y a 4 éléments possibles pour le 1er événement et 3 éléments possibles pour le 2e événement. Les arrangements possibles sont donc les suivants:
(D, E), (D, F), (D, G), (E, D), (E, F), (E, G), (F, D), (F, E), (F, G), (G, D), (G, E) et (G, F). Il y a donc un total de 12 résultats possibles.

On peut simplifier le dénombrement des résultats possibles en multipliant le nombre d'éléments possibles pour chaque événement:
|4\times 3 = 12 \text{ arrangements possibles}|.

Avec la formule de l'encadré ci-haut où |n=4| et |k=2|, on effectue le calcul:
|\displaystyle \frac{n!}{(n-k)|} = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2}=12 \text{ arrangements possibles}|.

 

Lorsqu'il s'agit d'une expérience avec remise, le nombre d'arrangements possibles se calcule à l'aide de la formule suivante:

|\text{Nombre d'arrangements possibles} = n^k|

où |n| représente le nombre d'éléments dans l'ensemble et |k| représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble.

 

On choisit au hasard deux lettres dans l'ensemble {D, E, F, G}.

Si l'expérience aléatoire est réalisée avec remise, il y a 4 éléments possibles pour le 1er événement et 4 éléments possibles pour le 2e événement. Les arrangements possibles sont donc les suivants:
(D, D), (D, E), (D, F), (D, G), (E, D), (E, E), (E, F), (E, G), (F, D), (F, E), (F, F), (F, G), (G, D), (G, E), (G, F) et (G, G). Il y a donc un total de 16 résultats possibles.

On peut simplifier le dénombrement des résultats possibles en multipliant le nombre d'éléments possibles pour chaque événement:
|4\times 4 = 16 \text{ arrangements possibles}|.

Avec la formule de l'encadré ci-haut où |n=4| et |k=2|, on effectue le calcul:
|n^k = 4^2 = 16 \text{ arrangements possibles}|.

La combinaison

La combinaison d'un ensemble d'éléments est une disposition non ordonnée d'un certain nombre d'éléments de cet ensemble.

Une combinaison correspond donc à un sous-ensemble d'éléments non ordonnés dans un ensemble. On détermine le nombre de combinaisons possibles d'une expérience aléatoire sans remise de la façon suivante:

Lorsqu'il s'agit d'une expérience aléatoire effectuée sans remise, le nombre de combinaisons possibles se calcule à l'aide de la formule suivante:
|\small \text{Nombre de combinaisons possibles} = \frac{ \text{Nombre d'arrangements possibles}}{\text{Nombre de permutations possibles} \\ \text{dans cet arrangement}}= \displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}|
où |n| représente le nombre d'éléments possibles dans l'ensemble et |k| représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble.

Le calcul du nombre de combinaisons possibles fait donc appel aux notions de permutation et d'arrangement.

On tire au hasard trois billes d'un sac contenant une bille rouge (R), une bille bleue (B), une bille jaune (J) et une bille verte (V). On détermine le nombre de combinaisons possibles à l'aide de la formule ci-dessus.

|\text{Nombre de combinaisons possibles} = \frac{4\times 3\times 2}{3\times 2\times 1} = \frac{24}{6} = 4|

En tenant compte de l'ordre, il y a 24 arrangements possibles:
(R, B, J), (R, B, V), (R, J, B), (R, J, V), (R, V, B), (R, V, J), (B, R, J), (B, R, V), (B, J, R), (B, J, V), (B, V, R), (B, V, J), (J, R, B), (J, R, V), (J, B, R), (J, B, V), (J, V, R), (J, V, B), (V, R, B), (V, R, J), (V, B, R), (V, B, J), (V, J, R), (V, J, B).
À l'aide des couleurs, on constate qu'il y a 6 façons différentes de piger trois billes de couleur si l'on tient compte de l'ordre. Ceci correspond au nombre de permutations possibles.

Le nombre de combinaisons possibles est donc de 4. Ces combinaisons sont les suivantes:
(R, B, J), (R, B, V), (J, B, V), (J, V, R).

Nous aurions pu calculer le nombre de combinaisons grâce à la formule de l'encadré ci-haut où |n=4| et |k=3|.
|\small \text{Nombre de combinaisons possibles} = \displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \times  1!} = \frac{24}{6}=4|.

 

Lorsqu'il s'agit d'une expérience aléatoire effectuée avec remise, le nombre de combinaisons possibles se calcule à l'aide de la formule suivante:
|\text{Nombre de combinaisons possibles}= \displaystyle \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}|
où |n| représente le nombre d'éléments dans l'ensemble et |k| représente le nombre d'éléments sélectionnés dans l'ensemble.

 

On tire au hasard trois billes dans une urne qui contient une bille rouge, deux billes bleues distinctes et quatre billes vertes distinctes. On veut déterminer le nombre de combinaisons possibles si on effectue les tirages avec remise.

Ici, |n=7| et |k=3|.

Avec la formule de l'encadré ci-haut on effectue le calcul suivant:
|\small \displaystyle \text{Nombre de combinaisons possibles: } \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \frac{(7+3-1)!}{3!(7-1)!} = \frac{9!}{3! \times 6!} =  84|.

Il y a donc 84 combinaisons possibles.

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