Mathématique m1349

L'intersection, la réunion et l'ensemble complémentaire

​​​​Il existe plusieurs opérations pouvant être effectuées sur les ensembles.

Intersection d’ensembles

L’intersection d’ensembles représente l’ensemble des éléments communs à tous les ensembles étudiés.

Le symbole utilisé pour l’intersection est |\cap|.

Mathématiquement l'intersection de deux ensembles |A| et |B| s'exprime ainsi ||A \cap B = \lbrace x \in U \mid x \in A \text{ et } x \in B \rbrace|| où |U| représente l'ensemble dans lequel tous les éléments sont.

Afin de déterminer l’intersection de deux ou plusieurs ensembles, on doit déterminer les éléments qui sont communs aux ensembles analysés. En d'autres mots, les éléments d'une intersection doivent faire partie de tous les ensembles analysés.​​

​Dans l'animation suivante, il faut d'abord choisir les ensembles pour lesquels on veut déterminer l'intersection. Par la suite, il suffit de déplacer le curseur vers la droite pour voir apparaître la région (région de couleur noire) qui représente l'intersection.

 

De par les contraintes de construction d'un diagramme de Venn, un maximum de trois ensembles peuvent être comparés.

Intersection de deux ensembles
Soit les deux ensembles suivants:
|A| l'ensemble des nombres impairs inférieurs à 10: A = {1, 3, 5, 7, 9};
|B| l'ensemble des multiples de 3 inférieurs à 10: B = {3, 6, 9}.

Les nombres 3 et 9 sont communs aux deux ensembles. L'intersection des ensembles |A| et |B| se note donc de la façon suivante: |A \cap B| = {3, 9}.

Intersection de trois ensembles
On s’intéresse à trois ensembles :
|A| = {1,2,3}
|B| = {2,4,6}
|C| = {2,3,4,5,6}

On peut les représenter de la façon suivante:


On remarque que le chiffre 2 est le seul élément à être présent dans les trois ensembles.
|A \cap  B \cap  C| = {2}

Dans ce cas, l’intersection des ensembles |A|, |B| et |C| est le singleton {2}. Un singleton est un ensemble ne contenant qu’un seul élément.


​Il est possible que deux ou plusieurs ensembles n’aient aucun élément en commun. Dans ce cas, leur intersection est en fait un ensemble vide que l'on peut symboliser de deux façons :

  • par { } (des accolades vides)
  • par Ø (un cercle vide)

On peut représenter cette intersection vide par le diagramme de Venn suivant :


L'intersection est hachurée ce qui signifie qu'aucun élément ne s'y trouve.

On a les deux ensembles suivants :
|G| = {1,2,3,4,5}
|H| = {6,7,8}

On remarque qu’aucun chiffre n’est commun aux ensembles |G| et |H|.
|G \cap  H| = {} ou Ø

L’intersection des ensembles |G| et |H| est l’ensemble vide.

L’intersection est commutative. Cela signifie que l’intersection des ensembles |A| et |B|, par exemple, est identique à l’intersection des ensembles |B| et |A|. Cette propriété est valable peu importe le nombre d’ensembles étudiés et leurs composantes.

|A \cap  B = B \cap  A|

Union (réunion) d'ensembles

L'union (parfois nommée réunion) d'ensembles représente l'ensemble qui contient tous les éléments appartenant à chaque ensemble ou aux deux à la fois.

Le symbole utilisé pour l'union est |\cup|.

Mathématiquement l'union de deux ensembles |A| et |B| s'exprime ainsi ||A \cup B = \lbrace x \in U \mid x \in A \text{ ou } x \in B \rbrace|| où |U| représente l'ensemble dans lequel tous les éléments sont.Si on souhaite parler de l'union des ensembles |A| et |B|, on écrit |A \cup B|. On peut représenter cette union à l'aide d'un diagramme de Venn.

 

Pour trouver tous les éléments |A| et |B| de l'union de ceux-ci, on applique une formule:

Éléments de l'ensemble A + Éléments de l'ensemble B - Éléments de leur intersection
|A + B - (A\cap  B)|

On s’intéresse aux deux ensembles :
|A| = {1, 2, 3, 4, 6}
|B| = {2, 4, 6, 7, 9}

On remarque que l'intersection entre |A| et |B| (|A \cap B|) est la suivante:
|A| = {1, 2, 3, 4, 6}
|B| = {2, 4, 6, 7, 9}
|A \cap  B| = {2, 4, 6}

Pour trouver l'union de ces deux ensembles (|A \cup  B|), on peut appliquer la formule donnée plus haut:

|\begin{align*}
A \cup B &= \{1, \color{blue}{2}, 3, \color{blue}{4, 6} \} + \{\color{blue}{2, 4, 6}, 7, 9 \} - \{\color{blue}{2, 4, 6}\} \\
&= \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9\}
\end{align*}|

Voici quelques formules qui permettent de calculer les relations entre les ensembles. Soient |A|, |B| et |C| trois ensembles.

|\bullet| |(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)|

|\bullet| |A \cap(B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)|

|\bullet| |A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)|

Ensemble complémentaire

L'ensemble complémentaire correspond à tous les éléments qui ne font pas partie de l'ensemble de départ.

On note généralement le complémentaire d'un ensemble en ajoutant le symbole prime « ' » à la lettre désignant l'ensemble. Par exemple, si on veut parler du complémentaire de l'ensemble |A|, on notera |A'|. Il est toutefois possible de noter le complémentaire d'un ensemble |A| par |A^c|.

Mathématiquement on exprime le complémentaire d'un ensemble |A| ainsi ||A' = \lbrace x \in U \mid x \notin A \rbrace|| où |U| l'ensemble dans lequel tous les éléments sont.

Ainsi, le complémentaire d'un ensemble |A| respecte les deux égalités suivantes:

|\bullet| |A \cap A' = \emptyset|

|\bullet| |A \cup A' = U|
On peut représenter un ensemble et son ensemble complémentaire à l’aide d’une droite numérique.
L'ensemble |A| est donné par l'intervalle |[6, +\infty[|. L'ensemble complémentaire |A'|, sera donc |] -\infty, 6[|.


On peut aussi représenter un ensemble et son complément à l'aide du diagramme de Venn.

L'ensemble A ci-dessous contient les éléments suivants: |A| = {4, 6, 8}. L'ensemble complémentaire |A'| est le suivant: |A'| = {1, 3, 5, 7, 9}.

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