Mathématique m1350

Les chances pour et les chances contre

Dans le cas où tous les résultats possibles sont équiprobables:

-On définit les chances pour qu'un événement se produise comme étant le rapport entre le nombre de résultats favorables possibles et le nombre de résultats défavorables possibles.

|\displaystyle \text{Chances pour}=\frac{\text{Nombre de résultats favorables possibles}}{\text{Nombre de résultats défavorables possibles}}|

-On définit les chances contre qu'un événement se produise comme étant le rapport entre le nombre de résultats défavorables possibles et le nombre de résultats favorables possibles.

|\displaystyle \text{Chances contre}=\frac{\text{Nombre de résultats défavorables possibles}}{\text{Nombre de résultats favorables possibles}}|

Les chances pour et les chances contre ne constituent pas des probabilités. En effet, il est facile de constater que le résultat de la fraction peut être supérieur à 1. Toutefois, les valeurs d'une probabilité sont toujours entre 0 et 1, tous deux inclus.

Pour réussir à utiliser les informations données par les chances pour et les chances contre afin de calculer une probabilité, il faut se souvenir que:
Nombre de résultats possibles=Nombre de résultats favorables possibles+Nombre de résultats défavorables possibles.

Ainsi, si on a un rapport de chances pour |a:b| où |a| est le nombre de résultats favorables possibles et |b| est le nombre de résultats défavorables possibles, alors la probabilité sera de |\displaystyle \frac{a}{a+b}|.

Il est impossible d'exprimer une probabilité égale à 1 en chances pour.

En effet, prenons le cas où la probabilité de gagner est égale à 1. On peut avoir, par exemple 3 chances pour de gagner et il y a donc 3 résultats favorables et 0 résultats défavorables. Or, en appliquant la définition des chances pour en terme de fraction, on obtient |\frac{3}{0}| ce qui n'est pas possible. Effectivement, on ne peut pas diviser par 0.

Un dé équilibré est lancé.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir un 2 ou un 5?
b) Quelle sont les «chances pour» d’obtenir un 2 ou un 5?
c) Quelles sont les «chances contre» d’obtenir un 2 ou un 5?

a) Dans ce cas, les résultats favorables sont «obtenir un 2» et «obtenir un 5». Il y a donc deux résultats favorables. Le nombre de résultats possibles est égal à six, soit «obtenir un 1», «obtenir un 2»,«obtenir un 3», «obtenir un 4», «obtenir un 5» et «obtenir un 6». La probabilité d’obtenir un 2 ou un 5 est donc égale à 2/6 (1/3 si on réduit la fraction), puisque la probabilité est le rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombre de résultats possibles.

b) On a vu dans la sous-question a) que le nombre de résultats favorables est égal à deux. Le nombre de résultats défavorables est égal au nombre de possibilités d’obtenir un chiffre différent de 2 et de 5. Ces possibilités sont les suivantes :«obtenir un 1», «obtenir un 3», «obtenir un 4» et «obtenir un 6». Il y a donc quatre résultats défavorables. Les «chances pour» sont donc égales à 2/4 (ou ½ si on réduit la fraction), puisque les «chances pour» sont égales au rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombre de résultats défavorables.

c) On a vu dans la sous-question b) que le nombre de résultats favorables est égal à deux et que le nombre de résultats défavorables est égal à quatre. Les «chances contre» sont donc égales à 4/2 (ou à 2 si on réduit la fraction), puisque les «chances contre» sont définies comme étant le rapport entre le nombre de résultats défavorables et le nombre de résultats favorables. Lorsque le dé est lancé, on a donc deux fois plus de chances de ne pas obtenir un 2 ou un 5 que d’obtenir un de ces résultats.

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