Mathématique m1385

La mise en évidence double

La double mise en évidence est un procédé qui met en évidence un facteur commun à des groupes de termes ayant eux-mêmes un facteur commun. 

La mise en évidence double s'applique lorsqu'on peut former deux paires de termes ayant un diviseur commun à l'intérieur d'un polynôme. Cette méthode de factorisation se déroule en deux étapes et fait intervenir la mise en évidence simple à plusieurs reprises.

Pour réaliser une mise en évidence double, on doit :

1. Regrouper les termes du polynôme deux par deux.

2. Appliquer la mise en évidence simple dans chaque regroupement.

3. Effectuer une deuxième mise en évidence simple des facteurs communs aux regroupements.

Il est important de s'assurer que, suite à la première mise en évidence simple, ce qu'il reste dans les groupes est identique.

Soit le polynôme |-5xy + x – 20y + 4|

1. Regrouper les termes du polynôme deux par deux.
||-5xy+x-20y+4=\underbrace{-5xy+x}_{\text{1er groupe}}\ \ \underbrace{-20y+4}_{\text{2e groupe}}||
2. Appliquer la mise en évidence simple dans chaque regroupement. 
1er groupe : ||\begin{align}-5xy+x-20y+4&=\color{green} {\underbrace{-5xy+x}_{\text{1er groupe}}}\ \ \underbrace{-20y+4}_{\text{2e groupe}} \\ &=\color{green}{x\ \cdot(-5y+1)}-20y+4\end{align}||2e groupe : ||\begin{align}-5xy+x-20y+4&=\underbrace{-5xy+x}_{\text{1er groupe}}\ \ \color{blue}{\underbrace{-20y+4}_{\text{2e groupe}}} \\ &=x\ \cdot(-5y+1)\color{blue}{+4\cdot (-5y+1)}\end{align}|| On obtient donc : ||x(-5y+1)+4(-5y+1)||
3. Effectuer une seconde mise en évidence simple des facteurs communs aux deux regroupements.
Puisque |(-5y + 1)| est commun aux deux expressions, ce facteur peut être mis en évidence. On obtient alors:||(-5y+1)(x+4)||

 

Soit le polynôme |4x^{3}y + 6x^{2} + 8xy + 12|

1. Regrouper les termes du polynôme deux par deux.
Comme les termes |4x^3y| et |8xy| comportent deux variables en commun, il est préférable de les regrouper ensemble puisqu'ils risquent de comporter plus de facteurs communs. ||\begin{align}4x^3y+6x^2+8xy+12&=4x^3y+8xy+6x^2+12\\ &=\underbrace{4x^3y+8xy}_{\text{1er groupe}}\ \ \underbrace{+6x^2+12}_{\text{2e groupe}}\end{align}||
2. Appliquer la mise en évidence simple dans chaque regroupement.
1er groupe : ||\begin{align}4x^3y+8xy+6x^2+12&=\color{green} {\underbrace{4x^3y+8xy}_{\text{1er groupe}}}\ \ \underbrace{+6x^2+12}_{\text{2e groupe}} \\ &=\color{green}{4xy\ \cdot(x^2+2)}+6x^2+12\end{align}||2e groupe : ||\begin{align}4x^3y+8xy+6x^2+12&=\underbrace{4x^3y+8xy}_{\text{1er groupe}}\ \ \color{blue}{\underbrace{+6x^2+12}_{\text{2e groupe}}} \\ &=4xy\ \cdot(x^2+2)\color{blue}{+6(x^2+2)}\end{align}|| On obtient donc : ||4xy(x^2+2)+6(x^2+2)|| 
3. Effectuer une seconde mise en évidence simple des facteurs communs aux deux regroupements.
Puisque |(x^2 + 2)| est commun aux deux expressions, ce facteur peut être mis en évidence. On obtient alors: ||(x^2+2)(4xy+6)||Lorsque l'on factorise un polynôme, on s'assuregénéralement qu'il le soit jusqu'à sa forme la plus complète. Dans l'exemple précédent, la deuxième parenthèse peut être factorisée à nouveau à l'aide de la méthode de la mise en évidence simple : ||(x^2+2)(4xy+6)|| Mettre en évidence le facteur |2| dans la deuxième parenthèse : ||(x^2+2)(4xy+6)=(x^2+2)\ \cdot \color{red}{2}(\color{red}{2}xy+\color{red}{3})|| On obtient alors : ||2(x^2+2)(2xy+3)||. 

Il aurait été possible de commencer la factorisation par une simple mise en évidence pour ensuite continuer par une double mise en évidence des termes obtenus. Il est d'ailleurs recommandé de toujours vérifier si une mise en évidence simple est possible avant d'entamer une autre méthode de factorisation.

Voici comment procéder : 
||\begin{align}4x^3y+6x^2+8xy+12&=\color{red}{2}\cdot \left(\color{red}{2}x^3y+\color{red}{3}x^2+\color{red}{4}xy+\color{red}{6}\right)\\ &=2\ \cdot\left(x^2(2xy+3)+2(2xy+3)\right)\\ &=2\ \cdot \left(2xy+3\right)\left(x^2+2\right) \\ &=2 \left(2xy+3\right)\left(x^2+2\right)\end{align}||

On peut développer les facteurs obtenus lors de la mise en évidence double pour vérifier s'ils sont équivalents avec le polynôme de départ.

Validation du premier exemple:
||(-5y+1)(x+4)\overset{?}{=} -5xy-20y+x+4|| On applique la distributivité : ||\begin{align}(-5y+1)(x+4)&\overset{?}{=} -5xy-20y+x+4\\ (-5y\cdot x)+(-5y\cdot4)+(1\cdot x)+(1\cdot 4)&\overset{?}{=} -5xy-20y+x+4\\ -5xy-20y+x+4&=-5xy-20y+x+4\end{align}|| On constate que le polynôme obtenu est bien équivalent au polynôme de départ, ce qui confirme que la factorisation a bien été effectuée. 


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