Mathématique m1386

La complétion du carré

La complétion du carré est une technique qui consiste à ajouter une certaine valeur à une expression de la forme |ax^2 + bx| de façon à obtenir un trinôme carré de la forme |ax^2 + bx + c|. Toutefois, il est aussi possible de factoriser des trinômes sous différentes formes avec cette méthode.

Pour effectuer la complétion du carré, on suit les étapes suivantes:

1. S'il y a lieu, on effectue une mise en évidence simple, de |a|,  afin que le coefficient du premier terme soit |1|.

2. On transforme l'expression de départ en un trinôme carré parfait en additionnant puis en soustrayant la valeur obtenue en utilisant la formule suivante:|\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^{2}|.
3.
On factorise le trinôme carré parfait ce qui transforme l'expression en différence de carrés.

4. On factorise la différence de carrés.

La complétion de carré fait donc intervenir d'autres techniques de factorisation:

Si le discriminant du trinôme sous la forme |ax^2+bx+c| est négatif, alors ce dernier ne se factorise pas.

 

Soit le trinôme suivant :
|2x^2 - 4x - 16|.

1. On s’assure que le coefficient du premier terme est 1. Ce n'est pas le cas ici, il faut donc procéder à une mise en évidence simple de 2.

|2 (x^2 - 2x - 8)|

2. On veut transformer le trinôme entre parenthèses en un trinôme carré parfait. Pour ce faire, on doit ajouter la valeur de suivante dans l'expression:

|\displaystyle \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \left( \frac {-2}{2} \right)^2|

On doit additionner et soustraire cette valeur afin de compléter le carré sans changer l’expression algébrique.

|2 [x^2 - 2x - 8] = 2 \left[ x^2 - 2x + \left( \frac{-2}{2} \right)^2 - \left( \frac{-2}{2} \right)^2 - 8 \right]|

3. On factorise le trinôme carré parfait et on transforme l'expression en différence de carrés.

|2 [x^2 - 2x + \left( \frac{-2}{2} \right)^2 - \left( \frac{-2}{2} \right)^2 - 8]|
|=2 [x^2 - 2x + (-1)^2 - (-1)^2 - 8]|
|=2[x^2-2x+1 - (-1)^2 - 8]|
|=2 [(x - 1)^2 - (-1)^2 - 8] \text{ car } x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2|
|=2 [(x - 1)^2 - 1 - 8]|
|=2 [(x - 1)^2 - 9]|
|=2 [(x - 1)^2 - 3^2]|

4. On factorise la différence de carrés.

|2 [(x - 1)^2 - 3^2]|
|=2 [((x - 1) - 3) ((x - 1) + 3)]|
|=2 [(x - 1 - 3) (x - 1 + 3)]|
|=2 [(x - 4) (x + 2)]|
|=2 (x - 4) (x + 2)|

 

Soit le trinôme suivant:
|2x^2+13x+15|.

1.  Le coefficient devant le |x^2| n'étant pas 1, il faut qu'il le devienne. On met donc 2 en évidence.
|\displaystyle 2x^2+13x+15 = 2\left( x^2 + \frac{13x}{2} + \frac{15}{2}\right)|

2. Maintenant, on doit ajouter et retrancher le terme |\displaystyle \left( \frac{b}{2} \right)^2|. Ici, |\displaystyle b= \frac{13}{2}|. Ainsi
|\displaystyle \left( \frac{\frac{13}{2}}{2}\right)^2 = \left( \frac{13}{4} \right)^2 = \frac{169}{16}.|

On doit ajouter et soustraire cette valeur au trinôme entre parenthèses afin de ne pas changer la valeur de l'expression.
|\displaystyle 2\left(x^2 + \frac{13x}{2} + \frac{15}{2} \right)= 2\left[ x^2 + \frac{13x}{2} + \frac{169}{16} + \frac{15}{2} - \frac{169}{16}\right]|

3. On factorise le trinôme carré parfait et on transforme l'expression en différence de carrés.
|2 \left[ x^2 + \frac{13x}{2} + \frac{169}{16} + \frac{15}{2} - \frac{169}{16} \right]|
|= 2 \left[ \left(x+\frac{13}{4} \right)^2 + \frac{15}{2} - \frac{169}{16} \right] \text{ car } x^2 + \frac{13x}{2} + \frac{169}{16} = \left( x + \frac{13}{4} \right)^2|
|= 2 \left[ \left(x+\frac{13}{4} \right)^2 + \frac{120}{16} - \frac{169}{16} \right]|
|=2 \left[ \left(x+\frac{13}{4} \right)^2 - \frac{49}{16} \right]|
|=2 \left[ \left(x+\frac{13}{4} \right)^2 - \left(\frac{7}{4} \right)^2\right]|

4. On factorise la différence de carrés.
|2 \left[ \left(x + \frac{13}{4} \right)^2 - \left( \frac{7}{4} \right)^2 \right]|
|= 2 \left[ \left( x + \frac{13}{4} + \frac{7}{4} \right) \left( x + \frac{13}{4} - \frac{7}{4} \right) \right]|
|=2 \left(x + \frac{20}{4} \right) \left(x + \frac{6}{4} \right)|
|=2 (x +5)(x+\frac{3}{2})|

 

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