Mathématique m1387

La technique du produit-somme

On peut factoriser un trinôme de la forme |ax^2 + bx + c| par la recherche de la somme et du produit. Cette technique consiste à exprimer le trinôme sous la forme d'un polynôme à quatre termes pour ensuite pouvoir effectuer une mise en évidence double.
Pour factoriser un trinôme par la technique somme produit, on doit suivre les étapes suivantes:

1. Chercher deux nombres |m| et |n| dont le produit est égal à la valeur de |\color{red}{a}| multipliée par |\color{red}{c}| et la somme est égale à la valeur de |\color{red}{b}|.
     
          |\text{ Produit } =a\cdot c=m\cdot n|     |\text{Somme }=b=m+n|

2. Décomposer le terme |bx| dans le trinôme par les deux nombres trouvés, c'est-à-dire |bx=mx+nx|.

3. Effectuer une mise en évidence double.
 
Cette méthode peut s'avérer difficile si les valeurs de |a|, |b| et |c| sont des fractions ou des nombres entiers assez élevés (tant positifs que négatifs).

De plus, si le discriminant du trinôme |ax^2+bx+c| est négatif, il ne sera pas possible de le factoriser.

 

Soit le trinôme suivant:
|x^2 + 4x – 32|.

1. On cherche le produit et la somme:

|a = 1, b = 4, c = -32|
Produit: |1\cdot -32=-32=m \cdot n|
Somme: |4=m+n|

2. On cherche deux nombres qui multipliés donnent |-32| et qui additionnés donnent |4|.

Les facteurs de |-32| sont :
| (-1 \text{ et } 32), (1 \text{ et } -32), (-2 \text{ et } 16), (2 \text{ et } -16), (-4 \text{ et } 8), (4 \text{ et } -8)|

On remarque que |-4\cdot 8 = -32| et |-4 + 8 = 4|, donc les deux nombres que l'on cherchait sont |m=-4| et |n=8|.

3. On décompose le terme bx dans le trinôme avec les deux nombres trouvés.

|x^2 {\color{red}{+4x}} – 32|
|=x^2 {\color{red}{-4x+8x}} – 32|

4. On fait une mise en évidence double.

|x\cdot {(x-4)} + 8\cdot{(x-4)}|
|=(x-4)(x+8)|

 

Soit le trinôme suivant:
|6x^2+16x+8|.

1. On cherche le produit et la somme:
Avant, il peut être utile d'effectuer une mise en évidence simple.
|6x^2+16x+18=2(3x^2+8x+4)|

Produit: |3 \cdot 4 = 12= m \cdot n|
Somme: |8=m+n|

2. On cherche deux nombres qui multipliés donnent |12| et qui additionnés donnent |8|.
Les facteurs de |12| sont:
|(1 \text{ et } 12), (3 \text{ et } 4), (2 \text{ 6} )|
On remarque que |2 \cdot 6 = 12| et |2 + 6=8|, donc les deux nombres que l'on cherchait sont |m=2| et |n=6|.

3. On décompose le terme |bx| dans le trinôme avec les deux nombres trouvés.
|2(3x^2  {\color{\red}{+8x}}+4)|
|=2(3x^2  {\color{\red}{+2x + 6x}} +4)|

4. On fait une mise en évidence double.
|2(3x^2+2x+6x+4)|
|=2((3x^2+2x)+(6x+4))|
|=2(x(3x+2)+2(3x+2))|
|=2(x+2)(3x+2)|

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