Mathématique m1387

La technique du produit-somme

On peut factoriser un trinôme de la forme |ax^2 + bx + c| par la recherche de la somme et du produit. Cette technique consiste à exprimer le trinôme sous la forme d'un polynôme à quatre termes pour ensuite pouvoir effectuer une mise en évidence double. Pour ce faire, on scinde le terme |bx| en une somme de deux termes |mx+nx| de telle sorte que le produit de ces deux termes est égal au produit de |ax^2| par |c|. 
Pour factoriser un trinôme de la forme |\color{green}{a}x^2 + \color{blue}{b}x + \color{green}{c}| par la technique somme produit, on doit effectuer les étapes suivantes : 

1. Chercher deux nombres |m| et |n| dont le produit est égal à la valeur de |\color{green}{a}| multipliée par |\color{green}{c}| et la somme est égale à la valeur de |\color{blue}{b}|.
     
          |\color{green}{\text{ Produit }} =\color{green}{a}\cdot \color{green}{c}=m\cdot n|     |\color{blue}{\text{Somme }}=\color{blue}{b}=m+n|

2. Décomposer le terme |bx| dans le trinôme par les deux nombres trouvés : |bx=mx+nx|.

3. Effectuer une mise en évidence double.
 
Cette méthode peut s'avérer difficile si les valeurs de |a|, |b| et |c| sont des fractions ou des nombres entiers assez élevés (tant positifs que négatifs).

De plus, si le discriminant du trinôme |ax^2+bx+c| est négatif, il ne sera pas possible de le factoriser.

 

Soit le trinôme |x^2 + 4x – 32|.

1. Chercher le produit et la somme.
Identifions les paramètre |a|, |b| et |c| de ce trinôme : ||\color{green}{a} = \color{green}{1},\  \color{blue}{b} = \color{blue}{4},\  \color{green}{c} = \color{green}{-32}||||\begin{align}\color{green}{\text{Produit}}&=\color{green}{a}\ \cdot \ \color{green}{c}& \color{blue}{\text{Somme}} &= \color{blue}{b}\\ &= \color{green}{1}\ \cdot \color{green}{-32}&&=\color{blue}{4} \\ &=\color{green}{-32}&&=m+n\\ &=m\ \cdot \ n\end{align}|| On cherche deux nombres |m| et |n| dont le produit est |-32| et la somme est |4|. 
On peut y aller par tâtonnement pour les déterminer : ||\begin{align}-1\times 32&=\color{green}{-32},\ \text{mais}\ \ -1+32=31\\ 1\times -32&=\color{green}{-32}, \ \text{mais}\ \ \ 1+(-32)=-31\\-2\times 16&=\color{green}{-32}, \ \text{mais}\ \ -2+16=14\\ 2\times -16&=\color{green}{-32}, \ \text{mais}\ \ \ 2+(-16)=-14\\ -4\times 8&=\color{green}{-32}\ \ \ \text{et}\ \ -4+8=\color{blue}{4}\end{align}|| Les deux nombres sont donc : ||m=-4\ \text{et}\ n=8|| 2. Décomposer le terme |bx| dans le trinôme par les deux nombres trouvés. ||\begin{align}x^2+4x-32&=x^2\color{red} {+4x}-32\\ &=x^2\color{red} {-4x+8x}-32\end{align}|| 3. Effectuer une mise en évidence double. ||\begin{align}x^2+4x-32&=x^2-4x+8x-32\\&=x(x-4)+8(x-4)\\&=(x-4)(x+8)\end{align}||


 

Soit le trinôme |6x^2+16x+8|.

1. Chercher le produit et la somme.
Avant de commencer la méthode produit-somme, on remarque que le polynôme possède des facteurs communs. Il est donc possible d'effectuer une mise en évidence simple : ||6x^2+16x+8\\ 2(3x^2+8x+4)|| Appliquons maintenant la technique produit-somme au trinôme |3x^2+8x+4| : 

Identifions les paramètre |a|, |b| et |c| de ce trinôme : ||\color{green}{a} = \color{green}{3}, \color{blue}{b} = \color{blue}{8}, \color{green}{c} = \color{green}{4}||||\begin{align}\color{green}{\text{Produit}}&=\color{green}{a}\ \cdot \ \color{green}{c}& \color{blue}{\text{Somme}} &= \color{blue}{b}\\ &= \color{green}{3}\ \cdot \color{green}{4}&&=\color{blue}{8} \\ &=\color{green}{12}&&=m+n\\ &=m\ \cdot \ n\end{align}|| On cherche deux nombres |m| et |n| dont le produit est |12| et la somme est |8|. 
On peut y aller par tâtonnement pour les déterminer : ||\begin{align}1\times 12&=\color{green}{12},\ \text{mais}\ \ 1+12=13\\ 3\times 4&=\color{green}{12}, \ \text{mais}\ \ \ 3+4=7\\ 2\times 6&=\color{green}{12}\ \ \ \text{et}\ \ 2+6=\color{blue}{8}\end{align}|| Les deux nombres sont donc : ||m=2\ \text{et}\ n=6|| 2. Décomposer le terme |bx| dans le trinôme par les deux nombres trouvés. ||\begin{align}6x^2+16x+8&=2(3x^2\color{red} {+8x}+4)\\ &=2(3x^2\color{red} {+2x+6x}+4)\end{align}|| 3. Effectuer une mise en évidence double. ||\begin{align}6x^2+16x+8&=2(3x^2+2x+6x+4)\\&=2\left(x(3x+2)+2(3x+2)\right)\\&=2(3x+2)(x+2)\end{align}||

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