Mathématique m1388

Le trinôme carré parfait

La factorisation d'un trinôme carré parfait est un procédé qui permet de factoriser trinôme en un facteur sous forme de binôme élevé au carré. Le trinôme doit respecter certaines caractéristiques afin de pouvoir être factorisé par cette méthode.

Pour reconnaître un trinôme carré parfait, le trinôme doit respecter les règles suivantes :

1. Le premier et le troisième terme doivent être des carrés.

2. Le terme du milieu doit être égal au double produit de la racine carrée du premier et du troisième terme.

|bx = 2\cdot \sqrt {ax^2}\cdot \sqrt c|

Lors de la factorisation d'un trinôme carré parfait, le seul facteur obtenu est un binôme élevé au carré.

 

Afin d'effectuer ce type de factorisation, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Vérifier si le trinôme possède les caractéristiques d'un trinôme carré parfait.

2.
Déterminer si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du coefficient du deuxième terme.

|\bullet| Si le deuxième terme est positif:
|a^2 {\color{red}+} 2ab + b^2 = (a {\color{red}+} b)^2|.

|\bullet| Si le deuxième terme est négatif:
|a^2 {\color{red}-} 2ab + b^2 = (a {\color{red}-} b)^2|.

3. Déterminer les facteurs qui seront égaux aux carrés des premier et troisième termes du trinôme de départ.
|{\color{red}a}^2 + 2ab + {\color{red}b}^2 = ({\color{red}a} + {\color{red}b})^2|

Soit le trinôme suivant :
|4x^2 +12xy + 9y^2|

1. Vérification si le trinôme correspond à un trinôme carré parfait.

|\bullet| On vérifie si le premier et le troisième terme sont des carrés.

Premier terme : |4x^2 = (2x)\cdot (2x)|; c’est un carré.
Troisième terme : |9y^2 = (3y)\cdot (3y)|; c’est un carré.

|\sqrt {4x^2} = 2x| et |\sqrt {9y^2} = 3y|

|\bullet| On vérifie si le deuxième terme est le double produit des racines carrées du premier et du troisième terme.

|12xy = 2\cdot \sqrt {4x^2}\cdot \sqrt {9y^2}|

Nous avons un trinôme carré parfait.

2. On identifie le signe du deuxième terme. Le deuxième terme est positif (|+|).

3. On effectue la factorisation.

On met la racine carrée du premier terme : |2x|
On insère le signe du deuxième terme : |+|
On inscrit à la suite la racine carrée du troisième terme : |3y|

On met le tout au carré : |(2x + 3y)^2|.


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