Mathématique m1397

Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à une variable

Résoudre une équation du second degré à une variable

Une équation du second degré à une variable est une équation qui peut se ramener à la forme |ax^2+bx+c=0| où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|.

Lorsque l'on résout une telle équation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'équation |ax^2+bx+c=0|.

Le nombre de solutions d'une équation |ax^2+bx+c=0| est indiqué par la valeur du discriminant (|b^2-4ac|) de celle-ci. En effet:

Si |b^2-4ac>0|L'équation possède deux solutions distinctes.
Si |b^2-4ac=0|L'équation possède une seule solution.
Si |b^2-4ac<0|L'équation ne possède aucune solution.

Résolution par factorisation

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, il n'y a pas de solution.

3. Si |b^2-4ac \geq 0|, on vérifie s'il est aisément possible de factoriser.

4. On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |2x^2+9x+5=-4|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant 4 à chaque membre de l'égalité.
|2x^2+9x+5=-4 \rightarrow 2x^2+9x+9|

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=9| et |c=9|.
|b^2-4ac=(9)^2-4 \cdot 2 \cdot 9 = 9|
On peut poursuivre puisque le discriminant est positif.

3. On peut factoriser |2x^2+9x+9| grâce à la méthode du produit-somme.
|2x^2+9x+9=0 \rightarrow (x+3)(2x+3)=0|

4. On applique la règle du produit nul.
|x+3 = 0 \Rightarrow x=-3|
ou
|2x+3 = 0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2}|

5. Les deux solutions de l'équation de départ sont donc |-3| et |-\frac{3}{2}|.

Résolution par complétion du carré

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, l'équation n'a aucune solution.

3. On complète le carré.

4. On applique la règle du produit-nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |2x^2=-3x+5|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant |3x| et en soustrayant |5| de chaque côté de l'égalité.
|2x^2=-3x+5 \rightarrow 2x^2+3x-5=0|

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=3| et |c=-5|.
|b^2-4ac = 3^2-4 \cdot 2 \cdot -5 = 49|
On peut poursuivre puisque le discriminant est non nul.

3. On peut factoriser |2x^2+3x-5| en complétant le carré.
|2x^2+3x-5=0 \rightarrow(x+\frac{10}{4})(x-\frac{4}{4})=0|

4. On applique la règle du produit-nul.
|x + \frac{10}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}|
ou
|x-\frac{4}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{4}=1|

5. L'ensemble-solution est | \lbrace -\frac{5}{2}, 1 \rbrace|.

Résolution par la formule quadratique

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
En effet, si |b^2-4ac<0|, l'équation n'a aucune solution.

3. On utilise la formule quadratique |\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|.

4. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |x^2-4x-20=0|.

1. L'équation est déjà sous la bonne forme.

2. On calcule le discriminant |b^2-4ac| où |a=1,b=-4| et |c=-20|.
|b^2-4ac= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -20 = 96|
On peut donc poursuivre.

3. On utilise la formule quadratique.
|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{--4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot -20}}{2 \cdot 1}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2}|
On sépare l'équation en deux.
|\displaystyle x_1 = \frac{4 + \sqrt{96}}{2} \approx 6.90|
ou
|\displaystyle x_2 = \frac{4 - \sqrt{96}}{2} \approx -2.90|

4. Les solutions sont |-2.90| et |6.90|.

Résoudre une inéquation du second degré à une variable

Une inéquation du second degré à une variable est une inéquation qui peut sa ramener à l'une des formes ci-dessous:
|ax^2+bx+c>0|;
|ax^2+bx+c<0|;
|ax^2+bx+c \geq 0|;
|ax^2+bx + c \leq 0|;
|a(x-h)^2+k >0|;
|a(x-h)^2+k<0|;
|a(x-h)^2+k \geq 0|;
|a(x-h)^2+k \leq 0|;
où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|

Lorsque l'on résout une telle inéquation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'une des inéquations de l'encadré précédent.

Contrairement aux équations, s'il n'y a pas de zéros, ça ne veut pas dire que l'inéquation n'a pas d'ensemble-solution.

Résolution

1. On transforme l'inéquation afin que le membre de droite soit 0.

2. On trouve les zéros, s'il y a lieu.

3. On bâtit un tableau des signes afin de déterminer l'ensemble-solution ou on trace la parabole. 

4. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'inéquation |-3x^2-5x+7 \geq 2x+1|.

1. On transforme l'inéquation en soustrayant |2x| et |1| de chaque côté de l'inégalité.
|-3x^2-5x+ 7 \geq 2x+1 \rightarrow -3x^2 -7x +6 \geq 0|

2. On détermine les zéros du membre de gauche.
En factorisant, on obtient |-3x^2-7x+6=-(x+3)(3x-2)|.

Les zéros sont donc |-3| et |\frac{2}{3}|.

3. On bâtit un tableau des signes.
Si |x=-3|, alors |(x+3)=0|. Si |x=\frac{2}{3}|, alors |(3x-2)=0|. On obtient alors:


Graphiquement, on recherche les valeurs de |x| pour lesquelles la fonction |f(x)=-3x^2-7x+6| est positive.


4. L'ensemble-solution est donc |[-3, \frac{2}{3}]|. Les bornes de l'intervalle sont incluses puisque le signe d'inégalité est |\geq|.

 

Soit l'inéquation |2x^2+6x+4 >2|.

1. On transforme l'inéquation en soustrayant |2| de chaque côté de l'inégalité.
|2x^2 + 6x + 4 > 2 \rightarrow 2x^2+6x+2>0|

2. On détermine les zéros du membre de gauche.

Avec la formule quadratique, on obtient |-2,61| et |-0,38|.

3. On bâtit un tableau des signes.
​|x|​|-2,61|​|-0,38|
​|f(x)||+|​​|0||-|​|0|​​|+|

Graphiquement, on recherche les valeurs de |x| pour lesquelles la fonction |f(x)=2x^2+6x+2| est strictement positive.

4. L'ensemble-solution est |]-\infty;-2,61[\cup ]-0,38;+\infty[|. Les bornes des intervalles sont exclues puisque le signe d'inégalité est |>|.

 

Soit l'inéquation |2(x-1)^2+3<0|.

1. L'inéquation est sous la forme canonique.

2. On trouve les zéros, s'il y en a.

Ici, le membre de gauche n'a aucun zéro. Ceci est logique puisque le paramètre |a| positif et le paramètre |k| également, ainsi la parabole est ouverte vers le haut et elle se situe au-dessus de l'axe des |x|.



On peut tout de suite conclure que l'ensemble-solution est vide, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur de |x| qui respectent l'inéquation.

Remarque:
Toutefois, si l'inéquation de départ avait plutôt été |2(x-1)^2+3>0| alors dans ce cas l'ensemble-solution aurait été l'ensemble des nombres réels notés |\mathbb{R}|.

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