Mathématique m1397

Résoudre une équation ou une inéquation du second degré à une variable

Résoudre une équation du second degré à une variable

Une équation du second degré à une variable est une équation qui peut se ramener à la forme |ax^2+bx+c=0| où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|.

Lorsque l'on résout une telle équation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'équation |ax^2+bx+c=0|.

Le nombre de solutions d'une équation |ax^2+bx+c=0| est indiqué par la valeur du discriminant (|b^2-4ac|) de celle-ci. En effet:

Si |b^2-4ac>0|L'équation possède deux solutions distinctes.
Si |b^2-4ac=0|L'équation possède une seule solution.
Si |b^2-4ac<0|L'équation ne possède aucune solution.

Résolution par factorisation

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, il n'y a pas de solution.

3. Si |b^2-4ac \geq 0|, on vérifie s'il est aisément possible de factoriser.

4. On applique la règle du produit nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |2x^2+9x+5=-4|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant 4 à chaque membre de l'égalité.
|2x^2+9x+5=-4 \rightarrow 2x^2+9x+9|

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=9| et |c=9|.
|b^2-4ac=(9)^2-4 \cdot 2 \cdot 9 = 9|
On peut poursuivre puisque le discriminant est positif.

3. On peut factoriser |2x^2+9x+9| grâce à la méthode du produit-somme.
|2x^2+9x+9=0 \rightarrow (x+3)(2x+3)=0|

4. On applique la règle du produit nul.
|x+3 = 0 \Rightarrow x=-3|
ou
|2x+3 = 0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2}|

5. Les deux solutions de l'équation de départ sont donc |-3| et |-\frac{3}{2}|.

Résolution avec complétion du carré

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. En effet, si |b^2-4ac<0|, l'équation n'a aucune solution.

3. On complète le carré.

4. On applique la règle du produit-nul pour trouver les valeurs de |x| recherchées.

5. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |2x^2=-3x+5|.

1. On ramène l'équation sous la forme |ax^2+bx+c=0| en additionnant |3x| et en soustrayant |5| de chaque côté de l'égalité.
|2x^2=-3x+5 \rightarrow 2x^2+3x-5=0|

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| où |a=2, b=3| et |c=-5|.
|b^2-4ac = 3^2-4 \cdot 2 \cdot -5 = 49|
On peut poursuivre puisque le discriminant est non nul.

3. On peut factoriser |2x^2+3x-5| en complétant le carré.
|2x^2+3x-5=0 \rightarrow(x+\frac{10}{4})(x-\frac{4}{4})=0|

4. On applique la règle du produit-nul.
|x + \frac{10}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}|
ou
|x-\frac{4}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{4}=1|

5. L'ensemble-solution est | \lbrace -\frac{5}{2}, 1 \rbrace|.

Résolution par la formule quadratique

Les principales étapes de cette méthode de résolution sont:

1. On ramène l'équation du second degré à une variable sous la forme |ax^2+bx+c=0|, si ce n'est pas déjà le cas.

2. On évalue le discriminant |b^2-4ac| et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre.
En effet, si |b^2-4ac<0|, l'équation n'a aucune solution.

3. On utilise la formule quadratique |\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|.

4. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |x^2-4x-20=0|.

1. L'équation est déjà sous la bonne forme.

2. On calcule le discriminant |b^2-4ac| où |a=1,b=-4| et |c=-20|.
|b^2-4ac= (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -20 = 96|
On peut donc poursuivre.

3. On utilise la formule quadratique.
|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{--4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot -20}}{2 \cdot 1}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2}|
On sépare l'équation en deux.
|\displaystyle x_1 = \frac{4 + \sqrt{96}}{2} \approx 6.90|
ou
|\displaystyle x_2 = \frac{4 - \sqrt{96}}{2} \approx -2.90|

4. Les solutions sont |-2.90| et |6.90|.

Résoudre une inéquation du second degré à une variable

Une inéquation du second degré à une variable est une inéquation qui peut sa ramener à l'une des formes ci-dessous:
|ax^2+bx+c>0|;
|ax^2+bx+c<0|;
|ax^2+bx+c \geq 0|;
|ax^2+bx + c \leq 0|;
|a(x-h)^2+k >0|;
|a(x-h)^2+k<0|;
|a(x-h)^2+k \geq 0|;
|a(x-h)^2+k \leq 0|;
où |x| est la variable, |a \in \mathbb{R}^*| et |b,c \in \mathbb{R}|

Lorsque l'on résout une telle inéquation, on tente de déterminer les valeurs de la variable |x| qui sont des solutions de l'une des inéquations de l'encadré précédent.

Contrairement aux équations, s'il n'y a pas de zéros, ça ne veut pas dire que l'inéquation n'a pas d'ensemble-solution.

Résolution à l'aide d'un graphique

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.

3. Déduire l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.

En résumé, il suffit de tracer le graphique en lien avec la situation pour ensuite résoudre le système d'équations en utilisant une des méthodes de factorisation d'un polynôme.

Soit l'inéquation |-3x^2-5x+7 \geq 2x+1|.

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.
m1397i12.PNG
Dans le cas présent, on s'intéresse à la section de la fonction du second degré qui est plus grande ou égale à la fonction linéaire. De par le signe d'inéquation, les points d'intersection sont représentés par des points pleins.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système d'équations.
||\begin{align}
-3x^2-5x + 7 \geq 2x + 1 \Rightarrow & -3x2 - 5x + 7 && = && 2x+1 \\
& -3x^2 - 7x + 6 && = && 0 \\
& -3x^2 -9x + 2x + 6 && = && 0 \\
& -3x (x + 3) + 2 (x+3) && = && 0 \\
& (x+3) (-3x + 2) && = && 0 \\
& (x+3) = 0 && \text{OU} && -3x + 2 = 0 \\
& x = -3 && \text{OU} && x = \frac{2}{3} \end{align}||
Fait à noter, la méthode de factorisation produit-somme a été utilisée et il n'est pas nécessaire, dans cet exemple, de trouver les valeurs en |y| de chacune des coordonnées.

3. Déterminer l'intervalle des valeurs de |x| qui respectent l'inéquation.
m1397i13.PNG
Selon le graphique précédent, on en déduit que les valeurs de |x| doivent se situer dans l'intervalle |[-3, \frac{2}{3}]|.

En procédant de cette façon, on peut parfois trouver l'ensemble-solution recherchée dès la première étape.

Soit l'inéquation |2(x-1)^2+3<0|.

1. Représenter graphiquement l'inéquation en y indiquant l'ensemble-solution.



On peut tout de suite conclure que l'ensemble-solution est vide, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune valeur de |x| qui respectent l'inéquation.

Remarque:
Toutefois, si l'inéquation de départ avait plutôt été |2(x-1)^2+3>0| alors dans ce cas l'ensemble-solution aurait été l'ensemble des nombres réels notés |\mathbb{R}|.

Résolution avec un tableau de signes

1. Réprésenter graphiquement les inéquations

2. Indiquer l'ensemble-solution sur le graphique

3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection

4. Déduire les données en |x| faisant partie de l'ensemble-solution

En résumé, il suffit de traver le tout dans ce graphique avec de résoudre le système d'équations avec une des trois méthodes.

Soit l'inéquation |2x^2+6x+4 >2|.

1. On transforme l'inéquation en soustrayant |2| de chaque côté de l'inégalité.
|2x^2 + 6x + 4 > 2 \rightarrow 2x^2+6x+2>0|

2. On détermine les zéros du membre de gauche.

Avec la formule quadratique, on obtient |-2,61| et |-0,38|.

3. On bâtit un tableau des signes.
​|x|​|-2,61|​|-0,38|
​|f(x)||+|​​|0||-|​|0|​​|+|

Graphiquement, on recherche les valeurs de |x| pour lesquelles la fonction |f(x)=2x^2+6x+2| est strictement positive.

4. L'ensemble-solution est |]-\infty;-2,61[\cup ]-0,38;+\infty[|. Les bornes des intervalles sont exclues puisque le signe d'inégalité est |>|.

 

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