Mathématique m1398

Résoudre une équation ou une inéquation exponentielle à une variable

Résoudre une équation exponentielle à une variable

Une équation qui comporte un terme où la variable indépendante apparaît comme exposant d'un nombre réel est nommée équation exponentielle.

 

Pour résoudre une équation exponentielle, il faut être à l'aise avec les logarithmes.

 

Il est important de garder en tête que |a^v=a^w| si et seulement si |v=w|. Donc, lorsque nous avons deux expressions qui sont égales et qu'elles ont la même base, alors les exposants sont égaux.

 

On pourra résoudre des expressions de la forme |a^u=b^v|. Pour les autres expressions, il sera généralement plus difficile d'y arriver.

Donnons-nous quelques exemples.

Trouvons la valeur de |x| pour laquelle |f(x)=12| où |f(x)=5\cdot 2^x-1|.

1. On remplace |f(x)=12|.

|12=5 \cdot 2^x -1 |

2. On isole la partie contenant l'exposant.

|13 = 5 \cdot 2^x|

|\frac{13}{5} = 2^x|

3. On passe à la forme logarithmique.

|\log_2 \frac{13}{5} = x|

Nous avons alors la réponse |\lbrace \log_2 \frac{13}{5} \rbrace|.

 

Résolvons l'équation : |2^{x+1}=3^{x-1}|.

1. On pose un logarithme des deux côtés de l'égalité.
(Il est important de remarquer que |a=b| si et seulement si |\log_c a=\log_c b|.)

|\log2^{x+1}=\log3^{x-1}|

2. Pour continuer la résolution, il faut mettre à profit les diverses lois des logarithmes. Dans le cas présent, nous utiliserons : |\log_c a^n=n \log_c a|.

Nous obtenons donc :| (x+1) \log 2 = (x-1) \log 3 |.

3. Il faut effectuer la distributivité.

|x \log 2 + \log 2 = x \log 3 - \log 3|

4. Il faut envoyer les termes contenant la variable |x| d'un côté et les autres termes de l'autre.

|\log 2 + \log 3 = x \log 3 - x \log 2|

5. Il ne reste qu'à faire quelques calculs. On applique deux lois des logarithmes:
|\log_c a + \log_c b=  \log_c (a \cdot b)|
|\log_c a - \log_c b = \log_c (\frac{a}{b})|

|\log( 2 \times 3) = x(\log( \frac{3}{2}))|

|\log 6 = x \log( \frac{3}{2})|

|\displaystyle \frac{\log 6}{\log(\frac{3}{2})}=x|

Rendu à cette étape, on peut utiliser la loi du changement de base :

|\log_{\frac{3}{2}} 6 = x|.

 

Trouvons la solution de l'équation |3(5^{2x})-4(5^{2x})+1=0|.

1. Il faut effectuer une mise en évidence simple de |5^{2x}|.

|5^{2x}(3-4)+1=0|
|-5^{2x}+1=0|

2. On isole la partie contenant l'exposant.

|-5^{2x}=-1|

|5^{2x}=1|

3. On passe maintenant à la forme logarithmique.

|\log_5 1=2x|

4. On isole le |x|.

|\frac{1}{2} \log_5 1 =x|

Il est important de constater que |\log_5 1 = 0|. Ainsi, |x=0|.

 

Soit l'équation suivante :

|27=4(\frac{1}{3})^{-x+2}+15|
 
1. Isoler la base et son exposant.

|27-15=4(\frac{1}{3})^{-x+2}|
 
|\frac{12}{4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}|
 
|3=(\frac{1}{3})^{-x+2}|
 
2. Pour avoir la même base de chaque côté de l'égalité, on utilise une propriété des exposants pour y arriver.

|3=(3^{-1})^{-x+2}|
 
|3=3^{x-2}|
 
3. Comme les bases sont identiques, on compare ensuite les exposants.

|1=x-2|

|1+2=x|

|x=3|

La solution est donc |x=3|.

 

Soit l'équation suivante |2=3(8)^{2x+10}-7|.
 
1. Isoler la base et son exposant.

|2+7=3(8)^{2x+10}|

|\frac{9}{3}= (8)^{2x+10}|

|3=8^{2x+10}|
 
2. Il est impossible d'avoir la même base, donc on utilise les logarithmes et leurs propriétés.

|\log(3) =\log(8)^{2x+10}|

|\log(3)=(2x+10)·\log(8)|

|\frac{\log(3)}{\log(8)}=2x+10|
 
|0,53=2x+10|

|0,53-10=2x|

|-9,47=2x|

|\frac{-9.47}{2}=x|
 
|-4,74\approx x|

Résoudre une inéquation exponentielle à une variable

Une inéquation qui comporte un terme où la variable indépendante apparaît comme exposant d'un nombre réel est nommée inéquation exponentielle.

Regardons un exemple :

Donnez l'ensemble-solution de l'inéquation : |28(8)^{2x+1} + 1 \leq 7(2)^{x-4} +1|.

1. On se débarasse des deux 1 de chaque côté.

|28(8)^{2x+1} \leq 7(2)^{x-4}|

2. On divise par 7 de chaque côté.

|4(8)^{2x+1} \leq 2^{x-4}|

3. On ramène tout en base 2 et on utilise les lois des exposants.

|2^2 \cdot (2^3)^{2x+1} \leq 2^{x-4}|

|2^{6x+5} \leq 2^{x-4}|

4. Comme les bases sont les mêmes de chaque côté de l'inégalité, cette dernière demeure vraie pour les exposants.

|6x+5 \leq x-4|

5. On peut donc résoudre.

|5x+5 \leq -4|

|5x \leq -9|

|x \leq -\frac{9}{5}|

Donc, pour tous les |x \leq -\frac{9}{5}| l'inéquation |28(8)^{2x+1}+1 \leq 7(2)^{x-4}+1| est respectée.

Le graphique suivant le confirme.

Malheureusement, ce ne sont pas toutes les inéquations qui mettent en jeu des bases identiques. Lorsque la base n'est pas la même, il est très utile de suivre la démarche suivante :

1. On résout l'inéquation (si possible) en remplaçant l'inéquation par un symbole d'égalité.
On trouve ainsi le point d'intersection.

2. On trace le graphique des deux fonctions (chaque membre de l'égalité).

3. Avec le graphique et le point d'intersection, on donne l'ensemble-solution.

Remarque : Des fois, il est impossible de résoudre une inéquation à la main. On doit faire appel à un logiciel de calcul symbolique ou encore on doit trouver graphiquement le point recherché.

 

Soit l'inéquation |2^{x+1} +1 < 3^{x} -2|.

Résoudre une telle inéquation n'est pas simple. C'est un cas où il faut faire appel à des méthodes plus avancées. Dans notre cas, nous nous contenterons de faire un graphique et d'identifier le point d'intersection entre les deux courbes.

On obtient le graphique suivant:

Ainsi, l'ensemble-solution de l'inéquation est |]2,35;+\infty[|.

Les vidéos
Les exercices
Les références