Mathématique m1399

Résoudre une équation ou une inéquation de racine carrée à une variable

Résolution d'une équation contenant des racines carrées à une variable

Une équation dans laquelle la variable apparaît sous un radical est appelée une équation irrationnelle.

Voici la marche à suivre pour résoudre une équation comportant des racines carrées:
1. Si l'équation ne contient qu'une seule racine carrée, il faut isoler la racine dans l'un ou l'autre des membres de l'égalité. Si l'équation contient deux racines carrées, il faut placer l'une d'elles dans un membre de l'égalité et l'autre, dans l'autre membre.

2. On calcule les restrictions.

3. On élève les deux côtés de l'égalité au carré.

4. On résout l'équation obtenue.

5. On vérifie les solutions obtenues.

6. On donne l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |\sqrt{x-2} = 10|.

1. L'équation est écrite sous la bonne forme.

2. On calcule la restriction.
Le dessous de la racine carrée doit être supérieur ou égal à 0, c'est-à-dire que |x-2 \geq 0| qui implique forcément que |x \geq 2|.

3. On élève les deux côtés de l'égalité au carré.
|\sqrt{x-2}=10 \rightarrow (\sqrt{x-2})^2 = 10^2|

On obtient alors que |x-2 = 100|.

4. On résout l'équation précédente.
|x-2 = 100 \Rightarrow x = 102|

5. On remplace |x| par |102| dans l'équation de départ.
|\sqrt{102-2} = 10|, ce qui est vrai.

6. L'ensemble-solution de l'équation est |\lbrace 102 \rbrace|.

 

Soit l'équation |\sqrt{x-3} + 2 = 9|.

1. On soustrait |2| de chaque côté de l'égalité.
|\sqrt{x-3}+2=9 \rightarrow \sqrt{x-3} = 7|

2. On calcule la restriction.
Le dessous de la racine carrée doit être supérieur ou égal à 0, c'est-à-dire que |x-3 \geq 0| qui implique forcément que |x \geq 3|.

3. On élève les deux côtés de l'égalité au carré.
|\sqrt{x-3}=7 \rightarrow (\sqrt{x-3})^2 = 7^2|

On obtient alors que |x-3 = 49|.

4. On résout l'équation précédente.
|x-3 = 49 \Rightarrow x=52|

5. On remplace |x| par |52| dans l'équation de départ.
|\sqrt{52-3}  + 2 = 9|, ce qui est vrai.

6. L'ensemble-solution est donc |\lbrace 52 \rbrace|.

 

Soit l'équation |2\sqrt{x+1} +3 = 1|.

1. On isole la racine carrée dans le membre de gauche.
|2\sqrt{x+1} + 3 = 1 \rightarrow 2\sqrt{x+1} = -2 \rightarrow \sqrt{x+1}=-1|

On arrête la résolution ici puisqu'une racine carrée ne peut être égale à une valeur négative. L'équation n'a donc aucune solution.

 

On doit s'assurer lorsque l'on a : |\sqrt{...} = ...|, la valeur du côté droit est positive.

 

Soit l'équation |\sqrt{x-3} + \sqrt{x} = 1|.

1. On envoie la |\sqrt{x}| du côté droit de l'égalité.
|\sqrt{x-3} + \sqrt{x} = 1 \rightarrow \sqrt{x-3} = 1 - \sqrt{x}|

2. On pose les restrictions pour les deux racines carrées.
|x - 3 \geq 0 \Rightarrow 3| et | x \geq 0|

3. On élève les deux côtés de l'égalité au carré.
|(\sqrt{x-3})^2 = (1-\sqrt{x})^2|
|x-3 = 1 - 2\sqrt{x} + x|

On isole |\sqrt{x}|.
|x-3 = 1 - \sqrt{x} + x \rightarrow -4 = -2\sqrt{x}|

On élève à nouveau les deux côtés de l'égalité au carré.
|(-4)^2  = (-2\sqrt{x})^2|
|16 = 4x|

4. On résout l'équation précédente.
|16=4x \Rightarrow 4 = x|

5. On vérifie la solution trouvée précédemment.
|\sqrt{4-3} + \sqrt{4} = 3 \neq 1|
Cette solution est donc fausse.

6. L'équation n'admet aucune solution.

 

Soit l'équation |3\sqrt{x+3}-6=x-2|.

1. On isole la racine carrée.
|3\sqrt{x+3}-6 = x-2|
|3\sqrt{x+3} = x+4|
|\displaystyle \sqrt{x+3}= \frac{x+4}{3}|

2. On pose la restriction.
|x+3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3|

3. On élève les deux côtés de l'égalité au carré.
|\displaystyle (\sqrt{x+3})^2 = \left( \frac{x+4}{3} \right)^2|
|\displaystyle x+3 = \frac{x^2+8x+16}{9}|

On multiplie les deux côtés de l'égalité par |9|.
|\displaystyle (x+3) \times 9 = \frac{x^2+8x+16}{9} \times 9|
|9x + 27 = x^2 + 8x +16|

4. On résout l'équation obtenue.
Comme c'est une équation du second degré, il faut la rendre égale à |0|.
|9x + 27 = x^2 + 8x + 16 \rightarrow 0 = x^2 - x -11|

On résout cette équation du second degré.
On obtient comme solutions |-2,85| et |3,85|.

5. Ces deux valeurs respectent la restriction.
Quand on remplace |x| par ces deux valeurs dans l'équation de départ, on obtient une égalité vraie. Ainsi, les deux solutions sont valides.

6. L'ensemble-solution de l'équation est donc |\lbrace -2,85;3,85 \rbrace|.

 

Il est préférable de toujours valider les solutions puisqu'en élevant au carré il arrive que de fausses solutions soient créées.

Résolution d'une inéquation contenant des racines carrées à une variable

Une inéquation dans laquelle la variable apparaît sous un radical est appelée une inéquation irrationnelle.

La méthode pour résoudre une inéquation contenant des racines carrées est très similaire à celle employée pour résoudre une équation avec des racines carrées. Il sera très profitable de faire des représentations graphiques.

Lorsque l'un des deux membres est un terme linéaire, c'est-à-dire un terme sous la forme |ax+b|, il faut faire une représentation graphique.

Soit l'inéquation |\sqrt{x-3} > 2|.

On calcule la restriction : |x > 3|.

On élève les deux côtés de l'inégalité au carré.
|(\sqrt{x-3})^2 > (2)^2 \rightarrow x-3 > 4|

On résout l'inéquation précédente.
|x-3 > 4 \Rightarrow x > 7|

On vérifie l'inéquation de départ pour une valeur de |x| supérieure à 7.
Prenons |x=19| :
|\sqrt{19-3}=4 > 2|

Ainsi, l'ensemble-solution est |]7, + \infty[|. Comme l'inégalité est stricte, il ne faut pas inclure le 7.

On peut tracer conjointement dans un même graphique les courbes |y=\sqrt{x-3}| et |y=2|. On remarque alors que l'ensemble-solution est correct.

 

Soit l'inéquation |\sqrt{2x-5} \leq 5|.

On calcule la restriction: |2x-5 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{5}{2}|.

On élève les deux côtés de l'égalité au carré.

|(\sqrt{2x-5})^2 \leq (5)^2 \rightarrow 2x-5 \leq 25|

On résout l'inéquation précédente.

|2x-5 \leq 25 \Rightarrow x \leq 15|

Comme |x \geq \frac{5}{2}| (la restriction) et |x \leq 15| alors l'ensemble-solution est |[\frac{5}{2},15]|.

On peut tracer conjointement dans un même graphique les courbes |y=\sqrt{2x-5}| et |y=5|. On remarque l'ensemble-solution est correct.

 

Soit l'inéquation |\sqrt{2+x} \leq -1|.

Cette inéquation a pour ensemble-solution l'ensemble vide |\lbrace \emptyset \rbrace|. En effet, il est impossible que |\sqrt{2+x}| soit inférieure à un nombre négatif.

 

Soit l'inéquation |\sqrt{-(x-5}) \geq x+1|.

On élève les deux côtés de l'inégalité au carré.

|(\sqrt{-(x-5)})^2 \geq (x+1)^2|

|-(x-5) \geq  x^2+2x+1|

Rendu ici, on peut changer le signe d'inégalité pour un signe d'égalité afin de trouver les points d'intersection entre la racine carrée et l'expression du second degré.

|-(x-5) = x^2 + 2x +1|

On égalise à 0.
|-(x+5)=x^2+2x+1|
|-x + 5 = x^2 + 2x + 1|
|0 = x^2 + 3x  -4|

On trouve les zéros.

Grâce à la formule quadratique, on obtient: |-4| et |1|.

Il faut maintenant regarder ce qu'il se passe graphiquement:

On remarque la solution |x=-4| n'est pas valide. Il s'agit de l'intersection entre la droite et la branche fantôme (en pointillés).

En fait, cette fausse solution correspond au point |(-4,-3)|. L'image de la fonction |y=\sqrt{-(x-5)}| est |[0, + \infty[| et alors la fonction racine carrée ne peut pas intercepter la droite au point |(-4,-3)|.

L'ensemble-solution de l'inéquation est donc |]-\infty, 1]|.

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