Mathématique m1400

Résoudre une équation ou une inéquation rationnelle à une variable

Résoudre une équation rationnelle à une variable

Une équation rationnelle est une équation algébrique dans laquelle l'une des variables apparaît au moins une fois dans le dénominateur de la fraction.

 

Soit l'équation |\displaystyle \frac{2}{x-2} + 1 = 5|.

On isole la fraction.
|\displaystyle \frac{2}{x-2} + 1 = 5 \rightarrow \frac{2}{x-2} = 4|

On effectue un produit croisé.
|\displaystyle \frac{2}{x-2} = 4 \rightarrow 4(x-2) = 2 \rightarrow 4x-8=2|

On résout l'équation précédente.
|4x - 8 = 2 \Rightarrow x = \displaystyle \frac{5}{2}|

On valide la solution.
|\displaystyle \frac{2}{\frac{5}{2}-2} + 1 = \frac{2}{\frac{1}{2}} + 1 = 5|

La solution est valide.

L'ensemble-solution de l'équation de départ est |\lbrace \displaystyle \frac{5}{2} \rbrace|.

 

Soit l'équation |\displaystyle \frac{3+2x}{x} = 8|.

La fraction est déjà isolée.

On effectue un produit croisé.
|\displaystyle \frac{3+2x}{x} = 8 \rightarrow 8x=3+2x|

On résout l'équation précédente.
|8x = 3+2x \Rightarrow \displaystyle \frac​​​{1}{2} = x|

On valide la solution.
|\displaystyle \frac{3 + 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8|

La solution est valide.

L'ensemble-solution de l'équation de départ est |\lbrace \displaystyle \frac{1}{2} \rbrace|.

 

Soit l'équation |\displaystyle \frac{2x+5}{x-7}=2|.

La fraction est déjà isolée.

On effectue un produit croisé.
|\displaystyle \frac{2x+5}{x-7} = 2 \rightarrow 2(x-7) = 2x + 5 \rightarrow 2x - 14 = 2x+5|

On résout l'équation précédente.
|2x - 14 = 2x + 5 \Rightarrow 0 = -19|, ce qui est faux.

L'équation ne possède aucune solution. Ainsi, l'ensemble-solution est |\lbrace \emptyset \rbrace|.

Le graphique suivant confirme l'absence de solution puisque l'équation de l'asymptote horizontale de la fraction (qui est une fonction rationnelle) est |y=2|.

 

Résoudre une inéquation rationnelle à une variable

Une inéquation rationnelle est une inéquation algébrique dans laquelle l'une des variables apparaît au moins une fois au dénominateur de la fraction.

Pour résoudre une inéquation rationnelle, il est préférable de s'aider d'un graphique. De plus, il est primordiale de déterminer les asymptotes.

Soit l'inéquation | \displaystyle \frac{3}{x-1} + 4 \geq  6|.

On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.
|\displaystyle \frac{3}{x-1} + 4 \geq 6 \rightarrow \frac{3}{x-1} + 4 = 6|

On isole la fraction.
|\displaystyle \frac{3}{x-1} + 4 = 6 \rightarrow \frac{3}{x-1} = 2|

On effectue un produit croisé.
|\displaystyle \frac{3}{x-1} = 2 \rightarrow 2(x-1) = 3 \rightarrow 2x-2 = 3|

On résout l'équation précédente.
|2x-2 = 3 \Rightarrow x = \frac{5}{2}|

On valide la solution.
|\displaystyle \frac{3}{\frac{5}{2}-1} + 4 = \frac{3}{\frac{3}{2}} + 4 = 2 + 4 = 6|

La solution est valide.

On trace le graphique pour déterminer l'ensemble-solution.

Les asymptotes sont tracées en pointillés.

En regardant le graphique, on réussit à déterminer que l'ensemble-solution est |]1, \frac{5}{2}]|. L'intervalle est ouvert en |x=1| puisque cette valeur correspond à l'asymptote verticale.

 

Soit l'inéquation |\displaystyle \frac{2x+6}{x-2} < x+3|.

On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.
|\displaystyle \frac{2x+6}{x-2} < x+3 \rightarrow \frac{2x+6}{x-2} = x+3|

On effectue un produit croisé.
|\displaystyle \frac{2x+6}{x-2} = x+3 \rightarrow 2x + 6 =(x-2)(x+3) \rightarrow 2x + 6 = x^2+x-6|

On résout l'équation du second degré obtenue à l'étape précédente.
|2x + 6 = x^2+x-6|
|0 = x^2 -x - 12|
|0 = (x+3)(x-4)|

Les zéros sont |-3| et |4|.

On trace le graphique pour déterminer l'ensemble-solution.

Les asymptotes sont tracées en pointillés.

En regardant le graphique, on réussit à déterminer que l'ensemble-solution est |]-3,2[ \cup ]4,+\infty[|.

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