Mathématique m1401

Résoudre une équation ou une inéquation de valeur absolue à une variable

Résoudre une équation contenant une valeur absolue

Pour résoudre une équation contenant une valeur absolue, il faut se référer à la définition de la valeur absolue.

Voici les étapes de la démarche à suivre:

1. Isoler la valeur absolue d'un côté de l'égalité.

2. Appliquer la définition de la valeur absolue.

3. Résoudre les deux équations obtenues précédemment.

4. Vérifier les solutions.

5. Donner l'ensemble-solution.

 

Soit l'équation |\mid 2x + 6 \mid =3|.

1. La valeur absolue est déjà isolée.

2. On applique la définition de la valeur absolue, c'est-à-dire que |2x + 6 = 3| si |x \geq -3| et que |-(2x+6)=3| si |x < -3|.

3. On résout les deux équations.

|2x+6 = 3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}|
|-(2x+6) = 3 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}|

4. On vérifie les solutions.

|\mid 2 \cdot -\frac{3}{2} + 6 \mid = \mid 3 \mid = 3|
|\mid 2 \cdot - \frac{9}{2} + 6 \mid = \mid -3 \mid = 3|

Les deux solutions sont valides.

5. L'ensemble solution est donc |\lbrace -\frac{3}{2},-\frac{9}{2} \rbrace |.

 

Soit l'équation |\frac{1}{2} \mid x+5 \mid = x-2|.

1. On multiplie les deux côtés de l'égalité par |2|.
|\frac{1}{2} \mid x + 5 \mid = x-2 \rightarrow \mid x + 5 \mid = 2x - 4|

2. On applique la définition de la valeur absolue, c'est-à-dire que | x + 5 = 2x-4| si |x \geq -5| et que |-(x+5) = 2x - 4| si |x < -5|.

3. On résout les deux équations.

|x + 5 = 2x - 4 \Rightarrow x = 9|
|-(x+5) = 2x - 4 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}|

4. On vérifie les solutions.

|\frac{1}{2} \mid 9 + 5 \mid = 7 = 9-2|
|\frac{1}{2} \mid -\frac{1}{3} + 5 \mid = \frac{7}{3} \neq -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}|

Ainsi, on doit rejeter la solution |-\frac{1}{3}|. Ceci est logique puisque pour la branche de droite de la valeur absolue les valeurs de |x| doivent être supérieures ou égales à |-5|.

Regardons graphiquement ce qu'il se passe:

La droite |y=x-2| coupe le prolongement de la branche de gauche de la valeur absolue (en rouge).
La restriction sur cette branche de la valeur absolue |x<-5| confirme le rejet de la valeur |x=-\frac{1}{3}|.

5. L'ensemble-solution est donc |\lbrace 9 \rbrace|.

 

Soit l'équation |3 \mid x - 1 \mid + 6 = 0|.

1. On isole la valeur absolue.
|3 \mid x - 1 \mid + 6 = 0 \rightarrow \mid x - 1 \mid = -2|

On arrête la résolution ici puisqu'une valeur absolue ne peut pas être égale à une valeur négative.

L'ensemble-solution est donc vide, |\emptyset|.

 

Soit l'équation |2\mid x - 4 \mid +1 = 3x+2|.

1. On isole la valeur absolue.
|\displaystyle 2 \mid x - 4 \mid +1 = 3x+2 \rightarrow \mid x -4 \mid = \frac{3x+1}{2}|

2. On applique la définition de la valeur absolue, c'est-à-dire que | \displaystyle x-4 = \frac{3x+1}{2}| si |x \geq 4| et que |\displaystyle -(x-4) = \frac{3x+1}{2}| si |x<4|.

3. On résout les deux équations.
|\displaystyle x - 4 = \frac{3x+1}{2} \Rightarrow x = -9|
|\displaystyle -(x-4) = \frac{3x+1}{2} \Rightarrow x= \frac{7}{5}|

4. On vérifie les solutions.
|2 \mid - 9 - 4 \mid +1 = 27| et |3 \cdot -9 +2 = -25|, il faut donc rejeter cette solution. Ceci est logique puisque pour cette branche de la valeur absolue |x| doit être supérieur ou égal à |4|.
|\displaystyle 2 \mid \frac{7}{5} - 4 \mid +1 = \frac{31}{5}| et |\displaystyle 3 \cdot \frac{7}{5} +2 = \frac{31}{5}|, cette solution est donc bonne.

5. Ainsi, l'ensemble-solution est |\displaystyle \lbrace \frac{7}{5} \rbrace|.

Résoudre une inéquation contenant une valeur absolue

Pour résoudre une inéquation contenant une valeur absolue, il est utile de tracer un graphique afin de déterminer l'ensemble-solution.

Voici les principales étapes à suivre:

1. Remplacer le symbole d'inégalité par le symbole d'égalité.

2. Isoler la valeur absolue.

3. Appliquer la définition de la valeur absolue tout en indiquant les restrictions.

4. Résoudre les deux équations obtenues précédemment.

5. Vérifier les solutions.

6. Tracer un graphique.

7. Donner l'ensemble-solution.

 

Soit l'inéquation |\mid 3 - 2x \mid > 9|.

1. On remplace le symbole d'inégalité par le symbole d'égalité.
|\mid 3 - 2x \mid > 9 \rightarrow \mid 3 - 2x \mid = 9|

2. La valeur absolue est déjà isolée.

3. On applique la définition de la valeur absolue, c'est-à-dire que |3 - 2x=9| si |\frac{3}{2} \leq x| et que |-(3-2x)=9| si |\frac{3}{2} > x|.

4. On résout les équations.
|3 - 2x = 9 \Rightarrow x = -3|
|-(3-2x) = 9 \Rightarrow x = 6|

5. On vérifie les solutions.
|\mid 3 - 2 \cdot -3 \mid  = 9|
|\mid 3 - 2 \cdot 6 \mid = 9|

Les deux solutions sont valides.

6. On trace le graphique.



7. Grâce au graphique, on peut conclure que l'ensemble-solution est |]-\infty,-3[  \cup   ]6,+\infty[|. Les bornes de l'intervalle ne sont pas incluses puisque le signe d'inégalité est |>|.

 

Soit l'inéquation |\mid 5 - x \mid \leq 3x+1|.

1. On remplace le symbole d'inégalité par le symbole d'égalité.
|\mid 5 - x \mid \leq 3x + 1 \rightarrow \mid 5 - x \mid = 3x +1|

2. La valeur absolue est déjà isolée.

3. On applique la définition de la valeur absolue, c'est-à-dire que |5-x = 3x+1| si |5 \leq x| et |-(5-x) = 3x+1| si |x > 5|.

4. On résout les deux équations.
|5-x = 3x+1 \Rightarrow x =1 |
|-(5-x) = 3x + 1 \Rightarrow x = -3|

5. On vérifie les solutions.
|\mid 5 - 1 \mid = 1 = 3 \cdot 1 + 1|
|\mid 5 -- 3 \mid = 8 \neq 3 \cdot -3 + 1 = -8|, on élimine donc cette valeur.

6. On trace le graphique.

Le point |(-3,-8)| rencontre le prolongement de la branche de droite (en rouge) de la valeur absolue et la droite |y=3x+1|.

7. L'ensemble-solution est |[1,+\infty[|.

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