Mathématique m1402

Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique à une variable

On appelle équation trigonométrique une équation dans laquelle la variable apparaît comme argument de rapports trigonométriques.

Il y a plusieurs choses à retenir lorsque l'on résout une équation trigonométrique:

|\bullet| Utiliser les définitions des rapports trigonométriques (sinus et cosinus).

|\bullet| Poser les restrictions, si nécessaire.

|\bullet| Déduire la ou les solutions en lien avec le cercle trigonométrique. Il ne faut pas oublier que |-1 \leq \sin x \leq 1, \forall x \in \mathbb{R}| et que |-1 \leq \cos x \leq 1, \forall x \in \mathbb{R}|. Il faut donc être à l'aise avec |\arcsin, \arccos| et |\arctan| qui sont des fonctions réciproques.

|\bullet| Donner la solution générale grâce à la période. En effet, les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. La période pour les fonctions sinus et cosinus se calcule: |\displaystyle P = \frac{2\pi}{\mid b \mid}|. La période d'une fonction tangente se calcule: |\displaystyle P = \frac{\pi}{\mid b \mid}|.

|\bullet| Déduire les solutions particulières, si on précise un intervalle.

On travaille avec les radians!

 

Résoudre une équation trigonométrique de degré 1 à une variable

Si |\sin (\arccos x) = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}|, que vaut |x| ?

Il faut se demander quels angles permettent d'obtenir un sinus de |\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}|.

Avec le cercle trigonométrique, on trouve que le sinus vaut |\frac{\sqrt{3}}{2}| à des angles de |\frac{\pi}{3}| et |\frac{2\pi}{3}|.

Ainsi, on a que |\arccos x = \frac{\pi}{3}|. On doit laisser tomber l'angle de |\frac{2\pi}{3}|, car la fonction arc cosinus est définie pour des angles entre |-\frac{\pi}{2}| et |\frac{\pi}{2}|.

Pour trouver |x|, il ne suffit que d'aller chercher le cosinus de l'angle de |\frac{\pi}{3}|. À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve que |x = \frac{1}{2}|.

 

Soit l'équation |\displaystyle \sin \frac{x}{3} = \frac{1}{2}|.

On regarde dans le cercle trigonométrique où la fonction sinus vaut |\frac{1}{2}|.
On trouve alors que |\sin \frac{x}{3} = \frac{1}{2}| lorsque |\frac{x}{3}| vaut |\frac{\pi}{6}| ou |\frac{5\pi}{6}|.

On résout:
|\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}|;
|\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{2}|.

La période de la fonction sinus de base étant |2\pi|, alors la solution générale est:
|\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{5\pi}{2} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

 

Soit l'équation |\displaystyle -\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}=0|. Trouvez les solutions dans l'intervalle |[0, 4\pi]|.

On isole l'expression trigonométrique.
|\displaystyle -\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}= 0 \rightarrow -\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}|

Dans le cercle trigonométrique le sinus vaut | -\frac{\sqrt{2}}{2}| à |\frac{5\pi}{4}| et à |\frac{7\pi}{4}|.

Ainsi, |x = \frac{5\pi}{4}| et |x=\frac{7\pi}{4}|.

De plus, la période de la fonction sinus de base étant |2\pi|, on peut donc trouver la solution générale:
|\displaystyle \lbrace \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

On s'intéresse maintenant aux solutions situées dans l'intervalle |[0,4\pi]|.

Pour obtenir toutes les solutions demandées, on remplace |n| par |0| et par |1| et on obtient: |\displaystyle \lbrace \frac{5\pi}{4} , \frac{7\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4} \rbrace|.

 

Soit l'équation |\displaystyle \sin(2(x-3)) -1 = - \frac{1}{3}|.

On isole l'expression trigonométrique en additionnant |1| de chaque côté de l'égalité.
|\sin(2(x-3)) - 1 = -\frac{1}{3} \rightarrow = \sin(2(x-3)) = \frac{2}{3}|

On résout cette équation. Toutefois, |\frac{2}{3}| n'est pas une valeur remarquable. On fait donc appel à la calculatrice en calculant la valeur de |\arcsin \frac{2}{3} \approx 0,73|. Ainsi, le sinus vaut |\frac{2}{3}| à environ |0,73| radian.

Pour déterminer la seconde valeur, on utilise un cercle trigonométrique afin de mieux comprendre le calcul à effectuer.

L'autre angle correspond à l'angle formé par l'axe des |x| positifs et le segment en bleu. On le trouve en calculant:
|\pi -0,73 \approx 2,41|.

On a donc que |2(x-3) = 0,73| ou |2(x-3)=2,41|.
En résolvant ces deux équations, on obtient:
|x = 3,365| ou |x=4,205|.

La période de la fonction |\sin(2(x-3))-1| étant de |\pi|, la solution générale de l'équation est:
|\lbrace 3,365 + \pi n; 4,205 + \pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

 

Soit l'équation |\sin x \cdot \cos x = 2 \cos x|.

On soustrait |2 \cos x| de chaque côté de l'égalité.

|\sin x \cdot \cos x - 2 \cos x= 0|

On effectue une mise en évidence simple de |\cos x|.

|\cos x(\sin x - 2) =0|

On vérifie pour chaque facteur lorsqu'il vaut |0|.

|\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} \text{ ou} \frac{3\pi}{2}|
|\sin x - 2 = 0 \rightarrow \sin x = 2| n'a aucune solution puisque les valeurs du sinus sont entre |-1| et |1|.

La période de la fonction cosinus de base étant |2\pi|, alors la solution générale est:
|\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2 \pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

Il est important de remarquer que si nous avions divisé les deux côtés de l'égalité par |\cos x| nous n'aurions pas trouvé toutes les solutions possibles.

 

Soit l'équation |\displaystyle (\tan 2x +1)(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0|.

On vérifie pour chaque facteur lorsqu'il vaut |0|.

Pour |\tan 2x + 1 = 0 \rightarrow \tan 2x = -1|:
À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve que la fonction tangente vaut |-1| lorsque l'angle vaut |\frac{3\pi}{4}|. Il faut faire attention ici, car la période de la fonction tangente de base est de |\pi|.
Ainsi, |2x = \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{8}|.
La période de la fonction |\tan 2x| est |\frac{\pi}{2}|.

Pour |\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \rightarrow \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}|.
À l'aide du cercle trigonométrique, on trouve qu'il y a deux angles où le sinus vaut |-\frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{5\pi}{4} \text{ ou } \frac{7\pi}{4}|.
Ainsi, |x = \frac{5\pi}{4} \text{ ou } \frac{7\pi}{4}|.
La période de la fonction sinus de base est |2\pi|.

La solution générale, en tenant compte des périodes, est:
|\displaystyle \lbrace \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2} n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \text{ et } \frac{7 \pi}{4} + 2 \pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

 


Résoudre une équation trigonométrique de degré 2​ à une variable

Soit l'équation |\sin^2x=1|.

On effectue la racine carrée de chaque côté de l'égalité et on obtient:
|\sin x = 1| et |\sin x =-1|.

En regardant dans le cercle trigonométrique, on trouve que:
|\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}|;
|\sin x = -1 \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{2}|.

La période de la fonction sinus de base étant |2\pi|, alors la solution générale est:
|\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

​ 

Soit l'équation |2\sin^2x-\sin x -1=0|. Trouvez les solutions dans l'intervalle |[0,4\pi]|.

Dans une telle équation, il faut voir que c'est une équation du second degré.
On remplace |\sin x| par |z| et on résout.
|2\sin^2x - \sin x -1 = 0 \rightarrow 2z^2 -z - 1 = 0|

En résolvant cette équation, on trouve que: |z=-\frac{1}{2}| ou |z=1|.

On revient à notre égalité |\sin x = z|.

Avec les valeurs de |z| trouvées précédemment, on a que:
|\sin x = -\frac{1}{2}| et |\sin x = 1|.

Avec le cercle trigonométrique, on trouve que:
|\sin x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{7\pi}{6} \text{ ou } x = \frac{11\pi}{6}|;
|\sin x = 1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}|.

La période de la fonction sinus de base est |2\pi|, ainsi la solution générale est:
|\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \text{ et } \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

Pour répondre à la question, on remplace |n| par quelques valeurs afin de trouver toutes les solutions situées dans l'intervalle demandé.
Avec |n=0| et |n=1| on obtient toutes les solutions:
|\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6} \rbrace|.

 

Soit l'équation |\tan^2 x - 3 \sec x \cdot \tan x - \sec^2x=1|.

On réécrit le tout en utilisant le sinus et le cosinus.
|\displaystyle \frac{\sin^2x}{\cos^2x} -3 \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos^2x} = 1|
|\displaystyle \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\sin x}{\cos^2x} - \frac{1}{\cos^2x}=1|

Avant de poursuivre, il faut poser les restrictions au dénominateur, c'est-à-dire que l'on doit exclure les valeurs de |x| telles que |\cos^2x=0|. Il faut donc que |\displaystyle x \neq  \lbrace \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \rbrace|.
Comme la fonction cosinus de base a une période de |2\pi|, il faut fonc que |\displaystyle x \neq \lbrace \frac{\pi}{2} + 2\pi n \text{ et } \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

On peut continuer à résoudre, en multipliant toute l'expression par |\cos^2x|. On obtient alors:
|\displaystyle \sin^2x - 3\sin x - 1 = \cos^2x|.
On change le |\cos^2x| pour |1-\sin^2x|.
|\displaystyle \sin^2x - 3\sin x - 1 = 1 - \sin^2x|

On égalise à |0|:
|2\sin^2x - 3\sin x-2 = 0|.

En posant |\sin x = z|, on obtient:
|2z^2 - 3z - 2=0|.

On obtient que |z=-\frac{1}{2}| ou |z=2|.

Ainsi, |\sin x = - \frac{1}{2}| ou |\sin x =2|.

Il faut rejeter la deuxième solution, car les valeurs du sinus sont comprises entre |-1| et |1|.

Pour ce qui est de |\sin x = - \frac{1}{2}|, on trouve que |x = \frac{7\pi}{6} \text{ ou } \frac{11\pi}{6}|.

Comme la période de la fonction sinus de base est |2\pi|, la solution générale est:
|\displaystyle \lbrace \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

 

Soit l'équation |3\tan \theta + \cot \theta = 5\text{ cosec } \theta|.

On développe les deux côtés de l'égalité en termes de sinus et de cosinus.
|3\tan \theta + \cot \theta = 5\text{cosec} \theta \rightarrow \displaystyle 3\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{5}{\sin \theta}|

Avant de poursuivre, on pose les restrictions à tous les dénominateurs.
|\cos \theta \neq 0 \Rightarrow \theta \neq \pi n| où |n \in \mathbb{Z}|
|\sin \theta \neq 0 \Rightarrow \theta \neq \frac{\pi n}{2}| où |n \in \mathbb{Z}|

On met tout sur un dénominateur commun qui dans ce cas sera |\cos \theta \cdot \sin \theta|.
|\displaystyle 3\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \frac{\cos theta}{\sin \theta} = \frac{5}{\sin \theta} \rightarrow \frac{3\sin \theta \cdot \sin \theta}{\cos \theta \cdot  \sin \theta} + \frac{\cos \theta \cdot \cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta} = \frac{5\cos \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}|

En multipliant les deux côtés de l'égalité précédente par |\cos \theta \cdot \sin \theta| on obtient |3\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 5\cos \theta|.

On utilise |\cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1| pour remplacer |\sin^2 \theta| par |1-\cos^2 \theta|.

|3\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 5\cos \theta \rightarrow 3(1-\cos^2 \theta) + \cos^2 \theta = 5\cos \theta|

|3(1-\cos^2 \theta) + \cos^2 \theta = 5\cos \theta \rightarrow 3-2\cos^2 \theta = 5\cos \theta|

On égalise à zéro.
|-2\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 3 = 0|

On pose |\cos \theta = z| et ainsi on obtient |-2z^2 -5z + 3=0|.

En résolvant cette équation du second degré à une variable, on obtient:
|z=\frac{1}{2}| ou |z=-3|.

On revient à |\cos \theta = z|.

Ainsi, |\cos \theta = \frac{1}{2}| ou |\cos \theta=-3|.

On doit rejeter la deuxième solution. En effet, les valeurs du cosinus sont comprises entre |-1| et |1|.

Alors, on se concentre sur |\cos \theta = \frac{1}{2}|.

Le cosinus vaut |\frac{1}{2}| à deux endroits dans le cercle trigonométrique: |\frac{\pi}{3}| et |\frac{5\pi}{3}|.

Ainsi, |\theta = \frac{\pi}{3}| ou |\theta=\frac{5\pi}{3}|.

La période de la fonction cosinus de base étant |2\pi|, la solution générale de l'équation de départ est |\displaystyle \lbrace \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \rbrace| où |n \in \mathbb{Z}|.

 

Résoudre une inéquation trigonométrique à une variable

On appelle inéquation trigonométrique une inéquation dans laquelle la variable apparaît comme argument de rapports trigonométriques.

La démarche pour résoudre une inéquation trigonométrique est sensiblement identique à celle pour résoudre une équation trigonométrique. Toutefois, il sera très important de tracer les graphiques pour déterminer l'ensemble-solution.

Soit l'inéquation |4 \sin 4x + 3 > 5|.

On remplace le signe d'inégalité par le signe d'égalité.
|4 \sin 4x + 3 > 5 \rightarrow 4 \sin 4x +3 = 5|

On isole l'expression trigonométrique.
|4 \sin 4x + 3 = 5 \rightarrow \sin 4x = \frac{1}{2}|

On résout l'équation.
|\sin 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi}{6} \text{ ou } 4x = \frac{5\pi}{6}|
Ainsi, |x = \frac{\pi}{24} \text{ ou } x=\frac{5\pi}{24}|.

On trace le graphique.

En regardant le graphique et en tenant compte de la période de la fonction |4\sin 4x +3| qui est de |\frac{\pi}{2}|, l'ensemble-solution est:
|\displaystyle ]\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2}n, \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{2}n[| où |n \in \mathbb{Z}|.

 

Soit l'inéquation |6\cos(x+\pi) -3\sqrt{3} \leq 0|.

On change le signe d'inégalité pour le signe d'égalité.
|6\cos(x+\pi) - 3\sqrt{3} \leq 0 \rightarrow 6\cos(x+\pi) - 3\sqrt{3} = 0|

On isole l'expression trigonométrique.
|6\cos(x+\pi) - 3\sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos(x+\pi)=\frac{\sqrt{3}}{2}|

On résout l'équation.
À l'aide du cercle trigonométrique, on détermine que:
|x + \pi = \frac{\pi}{6} \text{ ou } x + \pi = \frac{11\pi}{6}|.

On isole |x|.
|x = -\frac{5\pi}{6} \text{ ou } x = \frac{5\pi}{6}|
Pour n'avoir que des angles positifs, on ajoute |2\pi| à la première valeur.
|x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}|

On trace le graphique.

En regardant le graphique et en tenant compte de la période de la fonction |6\cos(x+\pi) - 3\sqrt{3}| qui est de |2\pi|, l'ensemble-solution est:
|[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{17\pi}{6} + 2\pi n]| où |n \in \mathbb{Z}|.

Dans cet intervalle, on prend la première valeur trouvée et on lui ajoute une période, on obtient alors |\frac{17\pi}{6}|.

Il faut toujours faire attention aux bornes de l'intervalle.

 

Soit l'inéquation |\tan x > 1|.

On change le signe d'inégalité par le signe d'égalité.
|\tan x > 1 \rightarrow  \tan x = 1|

On résoute cette équation.
|\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}|

On trace le graphique.


En regardant le graphique, en tenant compte de la période la fonction |\tan x| qui est |\pi| et en tenant compte également des asymptotes, l'ensemble-solution est:
|]\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n[| où |n \in \mathbb{Z}|.

 
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