Mathématique m1428

Reconnaître une situation directement ou inversement proportionnelle

En mathématiques, le concept de proportion donne lieu à deux types de situations ayant des propriétés intéressantes.

Reconnaître une situation directement proportionnelle

Une situation est directement proportionnelle lorsque la comparaison entre les valeurs associées des deux variables, à l'exception du couple |(0,0)|, admet des rapports ou des taux équivalents.

Généralement dans ces situations, si la valeur de l'une des variables augmente, la valeur de l'autre variable augmentera aussi et de façon constante.

On appelle également ces situations des situations de proportionnalité.

Dans une situation directement proportionnelle, si l'une des variables est égale à zéro, l'autre l'est aussi.

Les situations directement proportionnelles sont représentées par la fonction affine de degré 1 (linéaire de variation directe).

Une situation directement proportionnelle peut être représenté par un énoncé, par une table de valeurs, par un graphique ou par une règle.

L'énoncé

Une situation directement proportionnelle peut être représenté par un énoncé.

Généralement dans les situations directement proportionnelles, l'augmentation de la valeur de l'une des variables entraînera une augmentation constante de la valeur de l'autre variable.
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En d'autres mots, on dira que les variables varient dans le même sens.

Sans résoudre, détermine de quel type de situations il s'agit.

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Sarah est sauveteur à une plage non loin de chez elle.  Elle est payé |\small 13\:$| par heure. Sarah se demande combien elle gagnera après |\small 40| heures de travail.

Dans cette situation, on remarque que les variables sont le temps de travail et l'argent gagné par Sarah. Sans résoudre, il est possible de déterminer que plus Sarah fait d'heures de travail, plus elle gagnera de l'argent!

Comme l'augmentation de l'une des variables (le temps de travail) entraîne l'augmentation de l'autre variable (l'argent), on peut parler d'une situation directement proportionnelle.

Table de valeurs

Dans une table de valeurs, on peut reconnaître une situation directement proportionnelle de deux façons:

À l'aide du coefficient de proportionnalité

Dans une situation directement proportionnelle, le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de la première variable pour obtenir les valeurs associées de la deuxième variable.

Dans une situation directement proportionnelle, toutes les valeurs de la deuxième variable sont obtenues en mulitpliant la valeur associée de la première variable par le coefficient de proportionnalité.

Soit la table de valeurs suivante:
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On remarque que l'on doit toujours multiplier les valeurs de la variable |x| par |\color{red}{4}| pour obtenir les valeurs associées de la variable |y|.
||1\times \color{red}{4}=4\phantom{1}\\2\times \color{red}{4}=8\phantom{1}\\3\times \color{red}{4}=12\\ ...|| Le coefficient de proportionnalité est donc |\color{red}{4}|.
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La situation représentée par cette table de valeur est donc directement proportionnelle.

À l'aide du rapport de proportionnalité

Dans une situation directement proportionnelle, le rapport de proportionnalité correspond au rapport entre les valeurs de la variable |x| et celle de la variable |y|.

Pour |y\neq0|, les rapports seront de la forme suivante:||\displaystyle \frac{x}{y}||

Dans une situation directement proportionnelle, le rapport de proportionnalité est constant.

Reprenons la table de valeurs de l'exemple ci-haut.

On obtient les rapports suivants:
||\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}=\frac{3}{12}=\ ...||
On remarque que tous ces rapports sont équivalents à |\displaystyle \frac{1}{4}|.

On dira alors que le rapport de proportionnalité de cette situation est |\displaystyle \color{red}{\frac{1}{4}}|.

Comme le rapport de proportionnalité est constant, la situation représentée par cette table de valeurs est donc directement proportionnelle.

Graphique

Il est possible de reconnaître une situation de proportionnalité à l'aide du graphique la représentant.

Le graphique représentant une situation de proportionnalité comporte soit une droite oblique passant par l'origine du plan cartésien, soit des points appartenant à une droite oblique passant par l'origine du plan cartésien.

Les deux graphiques suivants représentent des situations directement proportionnelles:

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Règle

Il est possible de reconnaître une situation de proportionnalité à l'aide de la règle la représentant.

La règle d'une situation directement proportionnelle est de la forme:||y=(\text{coefficient de proportionnalité})\cdot x||

Pour la situation représenté par la table de valeurs suivante, on a que le coefficient de proportionnalité est |\color{red}{4}|.



La règle représentant cette situation sera donc ||y=\color{red}4x||

Reconnaître une situation inversement proportionnelle

Une situation est inversement proportionnelle lorsque le produit des valeurs associées des deux variables est constant.

Dans ces situations, si la valeur de l'une des variables augmente, la valeur de l'autre variable diminue.

On appelle également ces situations des situations de variation inverse.

Les situations inversement proportionnelles sont représentées par la fonction de variation inverse

Une situation inversement proportionnelle peut être représenté par un énoncé, une table de valeurs, par un graphique ou par une règle.

Énoncé

Une situation inversement proportionnelle peut être représenté par un énoncé.

Généralement dans les situations inversement proportionnelles, l'augmentation de la valeur de l'une des variables entraînera une diminution de la valeur de l'autre variable.
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En d'autres mots, on dira que les variables varient dans le sens contraire.

Sans résoudre, détermine de quel type de situations il s'agit.

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Adam est camelot pour le journal local. Chaque samedi matin, il doit distribuer |\small 66| journaux dans son quartier. Ce samedi, il demande à ses amis de l'aider. Adam s'interroge à savoir combien de journaux chacun devra livrer s'il réussit à convaincre |\small 5| de ses amis.

Dans cette situation, on remarque que les variables sont le nombre d'amis convaincus et le nombre de journaux livrés par chacun. Sans résoudre, il est possible de déterminer que plus Adam aura d'amis pour l'aider, moins chacun d'entre eux aura de journaux à livrer.

Comme l'augmentation de l'une des variables (le nombre d'amis convaincus) entraîne la diminution de l'autre variable (le nombre de journaux livrés par chacun), on peut parler d'une situation inversement proportionnelle.


Table de valeurs

Dans une table de valeurs, on reconnaît qu'une situation est inversement proportionnelle lorsque l'on obtient toujours le même résultat (produit) en multipliant les valeurs de la première variable par leur valeur associée de la deuxième variable.

Soit la table de valeurs suivante:
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On remarque que pour chaque couple |(x,y)|, la multiplication de la valeur de la variable |x| avec celle de la variable |y| donne toujours le même produit.
||1\times 66=\color{red}{66}\\ 2\times 33=\color{red}{66}\\ 3\times 22=\color{red}{66}\\ ...||Cette situation est donc inversement proportionnelle.

Graphique

Il est possible de reconnaître une situation inversement proportionnelle à l'aide du graphique la représentant.

Le graphique représentant une situation qui est inversement proportionnelle montre une courbe qui tend à s'approcher des axes sans y toucher ou des points appartenant à une courbe qui tend à s'approcher des axes sans y toucher.

Les graphique suivants représentent des situations inversement proportionnelles:
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Règle

Il est possible de reconnaître une situation inversement proportionnelle à l'aide de la règle la représentant.

La règle d'une situation inversement proportionnelle est de la forme ||\displaystyle y=\frac{\text{produit constant}}{x}|| où |\text{produit constant}\neq0| et |x\neq0|.

Comme il a été démontré plus haut, dans la situation inversement proportionnelle représentée par la table de valeurs ci-dessous,


le produit constant est |\color{red}{66}|.

La règle représentant cette situation sera donc ||\displaystyle y=\frac{\color{red}{66}}{x}||

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