Mathématique m1429

La résolution de situations directement ou inversement proportionnelles

Résolution d'une situation de proportionnalité

La résolution d'une situation directement proportionnelle revient à trouver un terme manquant dans une proportion. Plusieurs méthodes permettent d'y arriver.
Avant de résoudre une situation directement proportionnelle, il faut s'assurer de bien être en présence de ce type de situations. Pour ce faire, il faut savoir reconnaître une situation directement proportionnelle.

Le retour à l'unité

Le retour à l'unité est une façon de résoudre une situation directement proportionnelle. Cette méthode est en lien avec le concept de taux unitaire.
1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.

2. À partir du rapport ou du taux dont on connait les deux termes, obtenir un rapport ou un taux équivalent dont le dénominateur est 1.

3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce rapport ou de ce taux.

4. Interpréter le résultat obtenu.

Sébastien a gagné 120 $ en 5 heures de travail.
Combien gagnera-t-il s'il travaille 7 heures?

1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.
Cette situation peut se traduire par la proportion suivante:
||\displaystyle \frac{120\ $}{5\ \text{h}}=\frac{?}{7\ \text{h}}||
2. À partir du rapport ou du taux dont on connait les deux termes, obtenir un rapport ou un taux équivalent dont le dénominateur est 1.
||\frac{120\ $}{5\ \text{h}}\Rightarrow \frac{120\color{green}{\div 5}}{5\color{green}{\div 5}}=\frac{24\ $}{1\ \text{h}}||
3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce rapport ou de ce taux.
Sébastien gagne donc |24\ $/\text{h}|.
Pour |7| heures, il gagnera ||7\ \text{h}\times 24\ $/\text{h}=168\ $||
4. Interpréter le résultat obtenu.
Pour |7| heures, Sébastien gagnera |168\ $|.

Le coefficient de proportionnalité

Il est possible d'utiliser le coefficient de proportionnalité présent dans les proportions pour résoudre une situation directement proportionnelle.
1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.

2. Trouver le coefficient de proportionnalité à l'aide du rapport ou du taux dont on connait les deux termes.

3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce coefficient.

4. Interpréter la réponse obtenue.

La table de valeurs suivante représente le prix du saumon dans une épicerie en fonction de sa masse.
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Combien coûtera une pièce de |8,2\ \text{kg}| de saumon?

1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.
En se fiant aux deux couples complets de la table de valeurs, on remarque premièrement qu'il s'agit bien d'une situation directement proportionnelle et que le coefficient de proportionnalité est |\color{red}{3,5}|.
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La situation pourrait alors se traduire par la proportion suivante.
||\displaystyle \frac{7,8\ \text{kg}}{27,3\ $}=\frac{8,2\ \text{kg}}{?}||
2. Trouver le coefficient de proportionnalité à l'aide du rapport ou du taux dont on connait les deux termes.
Comme il a été mentionné ci-haut, le coefficient de proportionnalité de cette situation est |\color{red}{3,5}|. Il faut multiplier la masse du saumon par ce coefficient pour obtenir le prix.

3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce coefficient.
On a
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Donc
||\begin{align}?&=8,2\times 3,5\\ &=28,7\end{align}||

4. Interpréter la réponse obtenue.
Une pièce de saumon de |8,2\ \text{kg}| coûtera |28,70\ $|.

Le facteur de changement

On peut aussi utilisé le facteur de changement pour résoudre une situation directement proportionnelle.
1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.

2. Déterminer le facteur de changement.

3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce facteur.

4. Interpréter la réponse obtenue.

Marie-Claude souhaite faire agrandir la photo de son chien pour pouvoir la mettre dans un cadre. La photo initiale a 4 centimètres de largeur par 9 centimètres de hauteur.

Quelle sera la hauteur de la photo agrandie si Marie-Claude veut que celle-ci ait une largeur de 20 cm.

1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.
Cette situation peut se traduire par la proportion suivante.
||\displaystyle \frac{\text{largeur}}{\text{hauteur}}:\frac{4\ \text{cm}}{9\ \text{cm}}=\frac{20\ \text{cm}}{?}||
**Attention, si on met la largeur de la photo initial au numérateur du rapport, il faut s'assurer de mettre la largeur de la photo agrandie à la même position, soit au numérateur de l'autre rapport.

2. Déterminer le facteur de changement.
On remarque que le facteur de changement est |\color{red}{5}|.
3. Calculer le terme manquant à l'aide de ce facteur.
||\begin{align}?&=9\color{red}{\times 5}\\ &=45\end{align}||
4. Interpréter la réponse.
La hauteur de la photo agrandie sera de |45\ \text{cm}|.

Le produit des extrêmes et des moyens (produit croisé)

Le célèbre produit croisé découle directement de la propriété fondamentale des proportions qui veut que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens. Il est possible d'utiliser cette méthode pour résoudre une situation directement proportionnelle. Le produit croisé est souvent appelé la règle de trois ou encore la méthode du poisson
1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.

2. Effectuer le produit des extrêmes et des moyens puis effectuer la division nécessaire pour connaître la valeur du terme manquant.

3. Interpréter la réponse obtenue.

Simone plante des fleurs sur son terrain. Aujourd'hui, elle a travaillé pendant 4 heures et a réussi à planter les fleurs de 24 boîtes.
Combien de boîtes de fleurs réussira-t-elle à planter si, demain, elle n'a que 3 heures à consacrer à cette tâche?

1. Traduire la situation à l'aide d'une proportion dont l'un des quatre termes est manquant.
Cette situation peut se traduire par la proportion suivante.
||\displaystyle \frac{4\ \text{heures}}{24\ \text{boîtes}}=\frac{3\ \text{heures}}{?\ \text{boîtes}}||
2. Effectuer le produit des extrêmes et des moyens puis effectuer la division nécessaire pour connaître la valeur du terme manquant.

||\begin{align}\displaystyle \frac{\color{blue}{4}}{\color{green}{24}}=\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{?}} \Rightarrow \color{blue}{4}\times \color{blue}{?}&=\color{green}{24}\times \color{green}{3}\\ \phantom{\frac{\color{blue}{4}}{\color{green}{24}}=\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{?}}}\color{blue}{4}\times \color{blue}{?}&=\color{green}{72}\\ \phantom{\frac{\color{blue}{4}}{\color{green}{24}}=\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{?}}} \color{blue}{?}&=\color{green}{72}\div \color{blue}{4}\\\phantom{\frac{\color{blue}{4}}{\color{green}{24}}=\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{?}}} \color{blue}{?}&=18\end{align}||
3. Interpréter la réponse obtenue.
Simone pourra planter |18| boîtes de fleurs demain.

On voit que la méthode présentée dans l'exemple ci-haut revient aux mêmes manipulations que le produit croisé (aussi appelé règle de trois ou méthode du poisson).
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En effet, en effectuant le produit croisé, on obtient les opérations suivantes:
||\begin{align}?&=24\color{red}{\times}3\color{purple}{\div}4\\
&=72\color{purple}{\div}4\\
&=18\end{align}|| Ce sont les mêmes manipulations que celles données dans l'exemple précédent.


Résolution d'une situation inversement proportionnelle

Avant de résoudre une situation directement proportionnelle, il faut s'assurer de bien être en présence de ce type de situations. Pour ce faire, il faut savoir reconnaître une situation inversement proportionnelle.Les situations inversement proportionnelles ne se résolvent pas comme les situations directement proportionnelles. Voici une façon de procéder.

Le produit constant

Dans une situation inversement proportionnelle, le produit des valeurs associées des deux variables est constant. La méthode suivante se base sur cette propriété.
1. Déterminer les couples présents dans la situation. L'un de ces couples contiendra une valeur manquante.

2. Calculer le produit constant de la situation à l'aide du couple dont on connait les deux termes et déterminer la valeur manquante à l'aide de ce produit.

3. Interpréter la réponse obtenue.

En vue de faire un voyage scolaire à Toronto, ton école loue un autobus. Le coût de cette location sera distribué équitablement entre les élèves qui participeront au voyage. La direction annonce que si 15 élèves participent au voyage, chacun devra débourser 250$ pour la location de l'autobus.

Si 40 élèves participent au voyage, combien chacun devra-t-il débourser?

1. Déterminer les couples présents dans la situation. L'un de ces couples contiendra une valeur manquante.
Les deux couples sont:
||\left(15\ \text{élèves},250\ $\right)\ \text{et}\ (40\ \text{élèves},\color{red}{?}\ $)||
2. Calculer le produit constant de la situation à l'aide du couple dont on connait les deux termes et déterminer la valeur manquante à l'aide de ce produit.
On sait que
||\begin{align}15\times 250 &=40\times \color{red}{?}\\ 3750&=40\times \color{red}{?}\\ 3750\div 40&=\ \color{red}{?}\\ 93,75&=\ \color{red}{?}\end{align}||
3. Interpréter la réponse obtenue.
Si |40| élèves participent au voyage, chacun devra débourser |93,75\ $| pour la location de l'autobus.


Le produit croisé inversé

Le produit croisé inversé est une autre façon de résoudre une situation inversement proportionnelle.

1. Traduire l'énoncé par une proportion de rapports dont l'un des quatres termes est manquant.

2. Inverser le rapport qui contient le terme manquant.

3. Effectuer un produit croisé.

4. Interpréter la réponse obtenue.

Une compagnie de peintres industriels vient de décrocher un gros contrat. Le patron de la compagnie communique à ses employés que si |\small 2| peintres s'occupent du contrat, chacun devra travailler |\small 80| heures pour le mener à terme.

Combien de peintres le patron devra-t-il mandater pour que le contrat puisse être terminé en |\small 16| heures?

1. Traduire l'énoncé par une proportion de rapports dont l'un des quatres termes est manquant.
Normalement, nous serions porté à traduire cette situation de la façon suivante: ||\displaystyle \frac{2\:\text{peintres}}{80\:\text{heures}}=\frac{\color{red}{?}\:\text{peintres}}{16\:\text{heures}}||Mais attention, pour que cette méthode fonctionne, on doit recourrir à une proportion de rapports.
Pour que la proportion soit une proportion de rapports, on doit comparer les grandeurs de même nature de part et d'autre de l'égalité. Les peintres à gauche de l'égalité, et les temps de travail respectifs à droite, par exemple. Voici une telle proportion: ||\displaystyle \frac{2\:\text{peintres}}{\color{red}{?}\:\text{peintres}}=\frac{80\:\text{heures}}{16\:\text{heures}}||
2. Inverser le rapport qui contient le terme manquant.
En inversant le rapport qui contient le terme manquant, on obtient:
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3. Effectuer un produit croisé.
À partir de cette nouvelle égalité, on effectue un produit croisé.
||\quad\ \ \displaystyle \begin{align}\frac{\color{red}{?}}{2}\ \ =\ \ \frac{80}{16}\quad\ \ \Rightarrow \quad\ \ \color{red}{?}&=2\times 80\div 16\\ \\ \color{red}{?}&=10\end{align}||
4. Interpréter la réponse obtenue.
Pour terminer le contrat en |\small 16| heures, le patron devra donc mandater |\small 10| peintres.

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