Mathématique m1443

Les propriétés de la fonction tangente

 

Déterminez les propriétés de la fonction |f(x)=-\tan(\frac{1}{2}(x-1))+\sqrt{2}|.

Il peut être utile de tracer un graphique de la fonction.


-Les coordonnées du point d'inflexion sont |(h,k)=(1,\sqrt{2})|.

-La période de la fonction est:
|\displaystyle P = \frac{\pi}{\mid b \mid} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi.|

-L'équation des asymptotes est:
|\displaystyle x = (h + \frac{P}{2}) + n \cdot P = (1+\frac{2\pi}{2}) +n \cdot 2\pi = (1+\pi) + n \cdot 2\pi| où |n \in \mathbb{Z}| et |P| est la période.

-Le domaine de la fonction est: |\mathbb{R} \backslash \lbrace (1+\pi) + n \cdot 2\pi \text{ où } n \in \mathbb{Z} \text{ et } P \text{ est la période} \rbrace|.

-L'image de la fonction est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire |\mathbb{R}|.

-En considérant les valeurs de |a| et |b|, on peut conclure que la fonction est décroissante. En effet, le produit |a \cdot b| est négatif (|-1 \cdot \frac{1}{2} <0|). Le graphique confirme le tout.

-Les zéros de la fonction se calculent en remplaçant |f(x)| par 0.
|0=-\tan(\frac{1}{2}(x-1))+\sqrt{2}|
|-\sqrt{2} = - \tan(\frac{1}{2}(x-1))|
|\sqrt{2} = \tan(\frac{1}{2}(x-1))|

À cette étape, il faut vérifier à quel angle la tangente vaut |\sqrt{2}|. On doit regarder l'angle dans l'intervalle |[0,\pi]|. On obtient comme valeur |0.955|.

Ainsi, l'intérieur de la fonction tangente est égal à |0.955|.
|0.955=\frac{1}{2}(x-1)|
|1.91=x-1|
|2.91=x|

Le zéro de la fonction dans le cycle avec lequel on travaille est |2.91|.

L'expression générale des zéros de la fonction est donc |x=2.91 + n \cdot 2\pi| où |n  \in \mathbb{Z}|.

-La fonction est positive sur les intervalles de la forme |]1-\pi + n \cdot 2\pi, 2.91 + n \cdot 2\pi]| et elle est négative sur les intervalles de la forme |[2.91 + n \cdot 2\pi, 1+ \pi + n \cdot 2 \pi[| où |n \in \mathbb{Z}|.

Il faut faire attention de ne pas inclure les asymptotes.

-La fonction ne possède aucun extremum.

 

Les propriétés des fonctions

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