Mathématique m1450

Les paramètres d'une fonction sous la forme canonique

Pour la majorité des fonctions, il existe plusieurs équations qui donnent une même fonction. Il est très pratique d'utiliser une forme qui donne le plus d'information possible. La forme canonique en est une.

La forme canonique d'une fonction est une forme d'écriture paramétrique de l'équation de la fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure du graphique de la fonction. On parle aussi de la forme transformée.

Dans l'équation d'une fonction écrite sous forme canonique, il y a des paramètres.

Un paramètre est une grandeur dont la valeur numérique doit être fixée dans une expression algébrique ou une équation. On désigne généralement les différents paramètres par des lettres (différentes des variables).

Les paramètres permettent d'obtenir un graphique ayant un aspect différent (déplacement, allongement, rétrécissement, etc.) par rapport à celui de la forme de base.

On distingue généralement 4 paramètres appelés |a|, |b|, |h| et |k|. Ces paramètres jouent tous des rôles particuliers. On peut regrouper les 4 paramètres en 2 catégories : les paramètres additifs et les paramètres multiplicatifs.

La règle d'une fonction de base |y=f(x)|, à laquelle on ajoute des paramètres, devient sous la forme canonique ||y=af(b(x-h))+k|| où |f| est la fonction. La formule précédente illustre où les différents paramètres se situent lorsqu'on les ajoute à la forme de base.

 

La forme de base de la fonction quadratique est |y=\sqrt{x}|. Lorsqu'on lui ajoute les paramètres |a,b,h| et |k| on obtient la forme canonique |y=a \sqrt{b(x-h)}+k|.

Paramètres additifs: |h| et |k|

Le rôle des paramètres additifs est de déplacer horizontalement et/ou verticalement le graphique d'une fonction. Ils ne modifient pas l'allure de la fonction. On parle généralement de déplacement ou de translation.

Le paramètre |h| a pour effet de faire glisser horizontalement une fonction vers la gauche ou vers la droite, dépendamment de sa valeur.

 

Translation vers la gauche: |h<0|
Translation vers la droite: |h>0|

 

Dans cet exemple, la forme de base de la fonction valeur absolue a pour équation |f(x)= \mid x \mid|. Lorsque l'on ajoute le paramètre |h|, l'équation devient |f(x)= \mid x-h \mid|.

 

Le paramètre |k| a pour effet de déplacer une fonction vers le bas ou vers le haut, dépendamment de sa valeur.

 

Translation vers le bas: |k<0|
Translation vers le haut: |k>0|

 

Dans cet exemple, la forme de base de la fonction valeur absolue a pour équation |f(x)=\mid x \mid|. Lorsque l'on ajoute le paramètre |k|, l'équation devient |f(x)=\mid x \mid +k|.

 

Paramètre multiplicatifs: |a| et |b|

Le rôle des paramètres multiplicatifs est de modifier l'étirement de la fonction et de lui faire subir des réflexions.

Un changement d'échelle dans un plan cartésien est une transformation qui a pour règle |(x,y)  \mapsto (ux,vy)| où |u| et |v| sont des nombres réels non nuls. Ce qui modifie l'allure du graphique.

On parle de changement d'échelle verticale lorsque la transformation a pour règle |(x,y) \mapsto (x,vy)| où |v| est non nul. Dans le cas des fonctions, le  changement d'échelle verticale |v| est notée par le paramètre |a|, on dit donc qu'il est de facteur |a|.

On parle de changement d'échelle horizontale lorsque la transformation a pour règle |(x,y) \mapsto (ux,y)| où |u| est non nul. Dans le cas des fonctions, le changement d'échelle horizontale de facteur |u| est notée par le paramètre |b|, on dit donc qu'il est de facteur |\frac{1}{b}|.

Lorsque la fonction est étirée à l'horizontale  |\leftarrow \cdot \rightarrow| , on peut également employer les mots allongement ou dilatation. Même chose pour la verticale |\begin{matrix}
\uparrow\\
\cdot \\
\downarrow
\end{matrix}|.

Lorsque la fonction est comprimée à l'horizontale |\rightarrow \cdot \leftarrow|, on peut également employer les mots rétrécissement ou contraction. Même chose pour la verticale |\begin{matrix}
\downarrow\\
\cdot \\
\uparrow
\end{matrix}|.

Le paramètre |a| a pour effet de faire subir un changement d'échelle verticale à une fonction en l'allongeant ou en la rétrécissant , dépendamment de sa valeur. De plus, si le paramètre |a| est négatif, il fait subir une réflexion par rapport à l'axe des |x| à la fonction. Le changement d'échelle verticale est de facteur |a|, c'est-à-dire que les ordonnées des points sont multipliées par ce dernier.

 

Allongement vertical: |\mid a \mid >1|
Rétricssement vertical: |0 < \mid a \mid <1|
Réflexion par rapport à l'axe des |x|: |a<0|

 

Dans cet exemple, la forme de base de l'équation fonction racine carrée est |f(x)=\sqrt{x}|. Lorsque l'on ajoute le paramètre |a|, l'équation devient |f(x)=a\sqrt{x}|.

 

Le paramètre |b| a pour effet de faire subir un changement d'échelle horizontale à la fonction en l'allongeant ou en la rétrécissant, dépendamment de sa valeur. De plus, si le paramètre |b| est négatif, il fait subir une réflexion pas rapport à l'axe des |y| à la fonction. Le changement d'échelle horizontale est de facteur |\frac{1}{b}|, c'est-à-dire que les abscisses des points sont multipliées par ce dernier.

 

Allongement horizontal:  |0<\mid b \mid <1| 
Rétrécissement horizontal: | \mid b \mid > 1|
Réflexion par rapport à l'axe des |y|: |b < 0|

 

Dans cet exemple, la forme de base de l'équation d'une fonction racine carrée est |f(x)=\sqrt{x}|. Lorsque l'on ajoute le paramètre |b|, l'équation devient |f(x)=\sqrt{bx}|.

 

De la forme de base vers la forme canonique

La transformation qui associe à un point de la forme de base d'une fonction un point de la forme canonique d'une fonction est : |\displaystyle (x,y) \mapsto \left( \frac{x}{b} + h, ay +k \right)|.

On prend donc un point |(x,y)| de la forme de la base et en lui appliquant les paramètres de la forme canonique on obtient un nouveau point |\displaystyle \left( \frac{x}{b} + h, ay +k \right)|.

Soit la fonction quadratique de base d'équation |y=x^2|. On transforme cette règle pour obtenir la forme canonique |y=2(x-1)^2-1| (ici, |b=1|).

Soit la table de valeurs suivante et le graphique suivants :


Il faut maintenant appliquer les transformations données par les paramètres selon la règle : |\displaystyle (x,y) \mapsto \left(\frac{x}{1} + 1, 2y - 1 \right)|.

On obtient la table de valeurs et les graphiques suivants:


La fonction tracée en bleu correspond à la fonction sous sa forme de base.
La fonction tracée en rouge correspond à la fonction sous sa forme canonique où |a=2, b=1, h=1| et  |k=-1|. Elle a subi un allongement vertical de facteur 2, elle a subi une translation horizontale de 1 unité vers la droite et une translation verticale de 1 unité vers le bas.

Voici un tableau qui présente les formes de base, les formes canoniques et les formes canoniques réduites de différentes fonctions.

 

Comment avec l'ajout de paramètres obtient-on la transformation |\displaystyle (x,y) \mapsto \left(\frac{x}{b} + k, ay+k\right)| ?

Voici une preuve intuitive:
On se donne une fonction |y=af(b(x-h))+k| où |f| est une fonction.

On isole la partie |f(b(x-h))|.
|y=af(b(x-h))+k|
|y-k = af(b(x-h))|
|\displaystyle \frac{y-k}{a} = f(b(x-h))|

Si on pose |Y = \displaystyle \frac{y-k}{a}|, on peut isoler |y|.
On obtient alors |y = aY +k|.

Si on pose |X = b(x-h)|, on peut isoler |x|.
On obtient alors |x = \displaystyle \frac{X}{b} + h|.

Il faut simplement ajouter que |X| est la valeur de l'abscisse dans la fonction de base et qu'en appliquant les paramètres on obtient |x|.

Même chose pour |Y| et |y|.

On a donc démontré ce qu'il fallait.

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