Mathématique m1451

La factorisation d'un trinôme par la formule quadratique

Une autre technique de factorisation d'un trinôme sous la forme |ax^2+bx+c| est celle utilisant la formule quadratique: |\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|. On appelle parfois cette technique la méthode des racines.

Un trinôme est factorisable avec cette méthode si et seulement si la valeur de son discriminant, c'est-à-dire |b^2-4ac|, est supérieure ou égale à zéro.

 

Si un trinôme de la forme |ax^2+bx+c| est factorisable, alors on peut l'écrire sous la forme |a(x-x_1)(x-x_2)| où |x_1| et |x_2| sont les deux racines calculées avec la formule quadratique.

Remarque: Si, en utilisant la formule, on obtient qu'une seule valeur: alors |x_1=x_2|.

 

Soit le trinôme |2x^2+3x-1|.

Dans ce trinôme, |a=2|, |b=3| et |c=-1|. Pour déterminer les valeurs de |x_1| et |x_2|, il faut utiliser la formule quadratique.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4\cdot 2 \cdot -1}}{2 \cdot 2}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - - 8}}{4}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}|

À cette étape, il faut séparer la formule en deux parties en raison du |\pm|.

|\displaystyle x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \approx 0.28|
|\displaystyle x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} \approx -1.78|

On obtient donc la factorisation:
|2x^2+3x-1 = 2(x-0.28)(x+1.78)|

Afin d'obtenir une meilleure précision, il est préférable d'utiliser directement les racines.
|\displaystyle 2x^2+3x-1 = 2(x-\frac{-3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{-3 - \sqrt{17}}{4})|

 

Soit le trinôme |x^2+5x+6|.

Dans ce trinôme, |a=1|, |b=5| et |c=6|. Pour déterminer les valeurs de |x_1| et |x_2|, il faut utiliser la formule quadratique.

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{(5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}|

|\displaystyle x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{2}|

À cette étape, il faut séparer la formule en deux parties en raison du |\pm|.

|x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2|
|x_2 = \frac{-5 - 1}{2}= -3|

On obtient donc la factorisation:
|x^2+5x+6=1(x-(-2))(x-(-3))| ou |x^2+5x+6=1(x+2)(x+3)|

Il n'est pas nécessaire d'écrire le 1 devant les parenthèse. On peut tout simplement écrire: |(x+2)(x+3)|.

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