Mathématique m1453

La résolution de systèmes d'équations de 1er et de 2e degré

Résoudre un tel système revient à trouver le ou les points d'intersection entre une parabole et une droite. Pour se faire, il faut être à l'aise avec la résolution d'une équation du second degré à une variable.

Voici un tableau présentant le nombre de solutions possibles d'un tel système:

Aucune solutionUne seule solutionDeux solutions
Il n'y a aucune intersection entre la droite et la parabole.La droite est tangente à la parabole.La droite est sécante à la parabole.

Voici les étapes pour résoudre un tel système:

1. Égaler les deux équations à l'aide de la méthode de comparaison.

Si l'équation de la parabole n'est pas sous la forme |y=ax^2+bx+c|, il faut la ramener sous cette forme. De plus, si l'équation de la droite n'est pas sous la forme |y=ax+b|, il faut la ramener sous cette forme.

2. Envoyer tous les termes du même côté de l'égalité afin d'avoir l'un des deux membres égal à 0. À partir de là, on peut déterminer le nombre de solutions.

En effet, avec |ax^2+bx+c=0| et selon la valeur de |b^2-4ac| on peut trouver le nombre de solutions.
|\bullet| Si |b^2-4ac<0|, il n'y a aucune solution.
|\bullet| Si |b^2-4ac=0|, il y a une seule solution.
|\bullet| Si |b^2-4ac>0|, il y a deux solutions.

3. Factoriser (si possible) ou utiliser la formule quadratique afin de trouver la ou les solutions en |x|.

4. Trouver la ou les solutions en |y|.

5. Donner le ou les couples solutions.

 

Soit le système d'équations suivant: ||\left\{\begin{matrix}
y=-x^2+2x+5\\
y=x+3
\end{matrix}\right. .|| 1. On peut écrire l'égalité |-x^2+2x+5=x+3|.

2. On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, on envoie les termes à gauche (cela n'a pas d'importance, on aurait pu les envoyer à droite).

|-x^2+2x+5=x+3 \rightarrow -x^2+x+2=0|

|b^2-4ac=1^2-4\cdot -1 \cdot 2 = 9 >0|, le système a donc deux solutions.

3. On peut utiliser la formule quadratique | \displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}| où |a=-1|, |b=1| et |c=2|.

|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot -1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm 3}{2}|

|x_1 = \displaystyle \frac{-1 + 3}{-2} = -1|
|x_2 = \displaystyle \frac{-1-3}{-2} = 2|

4. On trouve les valeurs de |y| en remplaçant |x| dans l'une ou l'autre des deux équations de départ.
|y=x+3 \rightarrow y = -1 + 3 = 2|
|y=x+3 \rightarrow y=2 + 3 = 5|

5. Ainsi les couples solutions du système initial sont |(-1,2)| et |(2,5)|.

 

Soit le système d'équations suivant: ||\left\{\begin{matrix}
y=-2x^2+x-2\\
y=2x+1
\end{matrix}\right. .|| 1. On peut écrire l'égalité suivante: |-2x^2+x-2=2x+1|.

2. On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, du côté gauche.
|-2x^2+x-2=2x+1 \rightarrow -2x^2-x-3=0|

|b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot -2 \cdot -3 = -23 <0|, il n'y a donc aucune solution à ce système.

Il n'y a donc pas de couple solution.

 

Soit le système d'équations suivant: ||\left\{\begin{matrix}
y=-2x^2+x-3\\
y=-3x-1
\end{matrix}\right. .|| 1. On peut écrire l'égalité suivante: |-2x^2+x-3=-3x-1|.

2. On envoie tous les termes du même côté de l'égalité. Dans ce cas-ci, du côté gauche.
|-2x^2+x-3=-3x-1 \rightarrow -2x^2+4x-2=0|

|b^2-4ac = 4^2 - 4\cdot -2 \cdot -2 = 0|, il y a donc une seule solution à ce système.

3. On peut factoriser |-2x^2+4x-2| et ainsi on obtient |-2(x-1)^2|.

Alors, il faut résoudre |-2(x-1)^2=0|.
|-2(x-1)^2=0 \rightarrow (x-1)^2=0|
|(x-1)^2 = 0 \rightarrow x = 1|

4. On trouve la valeur de |y| en remplaçant |x| par |1|.
|y=-3x-1 \rightarrow y = -3 \cdot 1 -1 = -4|

5. Le couple solution est |(1,-4)|.

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