Mathématique m1454

La différence de carrés

La différence de deux carrés est un procédé qui permet de factoriser un polynôme de la forme |a^2 - b^2|.

Pour reconnaître une différence de carrés, l'expression algébrique doit respecter les règles suivantes :

1. Les deux termes doivent être des carrés.

2. Une soustraction doit relier les deux termes.

|a^2 - b^2 = (a {\color{red}+} b) (a {\color{red}-}b)|

Les facteurs d'une différence de carrés sont toujours deux binômes conjugués, c'est-à-dire que l'un est la somme de deux termes et l'autre, la différence des deux mêmes termes.





pour BV différence carré (3).PNG

 

Soit l'expression suivante:
|9x^2– 16|

On extrait la racine carrée de chaque terme et on retranscrit l'expression sous la forme de binômes conjugués. Ainsi:

|a^2– b^2= (\sqrt {a^2} + \sqrt {b^2}) (\sqrt {a^2} - \sqrt{b^2}) = ( a + b ) ( a – b )|
|9x^2– 16 = (\sqrt {9x^2} + \sqrt {16}) (\sqrt {9x^2} - \sqrt {16}) = (3x + 4) (3x – 4)|

La réponse obtenue est donc la suivante:
|9x^2– 16 = (3x + 4) (3x – 4)|

 

Soit l'expression suivante:
|36x^{4}y^2 - 9z^6|

On extrait la racine carrée de chaque terme et on retranscrit l'expression sous la forme de binômes conjugués. Ainsi:

|36x^{4}y^2 - 9z^6 = (6x^{2}y + 3z^3) (6x^{2}y - 3z^3)|

La factorisation n'est pas terminée, car il y a des facteurs communs dans les binômes obtenus. Ici, il faut poursuivre par une mise en évidence simple. Dans chaque parenthèse, on peut sortir le facteur |3|.

|3 (2x^{2}y + z^3) 3 (2x^{2}y - z^3)|

On obtient donc:
|36x^{4}y^2 - 9z^6 = 9 (2x^{2}y + z^3) (2x^{2}y - z^3)|

 

Regardons un exemple différent:

|9x^2 - 5|.

Bien que |5| ne soit pas un carré parfait (ce n'est pas le carré d'un nombre entier positif), on peut le voir comme le carré de |\sqrt{5}|.

Ainsi, on obtient |9x^2 - 5 = (3x- \sqrt{5})(3x+ \sqrt{5})|.


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