Mathématique m1456

Résoudre une équation partie entière à une variable

Pour résoudre une équation de la forme |\text{partie entière}=\text{nombre}|, il faut connaître la définition de la partie entière d'un nombre.

Voici un rappel:

La partie entière d'un nombre, notée | [x] |, correspond à l'unique nombre entier tel que |[x] \leq x < [x] +1|. On appelle aussi ce symbole le plus grand entier inférieur ou égal à |x|. Les deux appellations sont des synonymes.

Remarque : Si |[x]=a| où |a| doit être un nombre entier. Alors |a \leq x < a+1|. Donc |x| appartient à l'intervalle |[a,a+1[|.

|[2,3]=2|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à 2,3. De plus, |2 \leq 2,3 < 3|.

|[-2,3]=-3|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à -2,3. De plus, |-3 \leq -2,3 < -2|.

|[45]=45|, on cherche le plus grand entier inférieur ou égal à 45. De plus, |45 \leq 45 < 46|.

Il faut donc utiliser cette définition dans la résolution.

Soit l'équation |\frac{1}{2} [-(x+1)]  -1 = 3|.

On isole la partie entière.
|\frac{1}{2} [-(x+1)] - 1 = 3 \rightarrow [-(x+1)] = 8|

Comme la partie entière est égale à un nombre entier, on peut poursuivre la résolution.

On applique la remarque, c'est-à-dire que |8 \leq -(x+1) < 8+1|.

On résout la double inégalité.
| 8 \leq -(x+1) < 9|
|-8 \geq x + 1 > -9| (en divisant par un nombre négatif, cela inverse le sens des inégalités)
|-8 - 1 \geq x > -9 -1|
|-9 \geq x > -10|

Ainsi l'ensemble-solution correspond à l'intervalle |]-10,-9]|. Les crochets de l'intervalle sont déterminés grâce à la dernière inégalité.

 

Soit l'équation |2[x-1]-3=4|.

On isole la partie entière.
|2[x-1]-3=4 \rightarrow [x-1]=\displaystyle\frac{7}{2} = 3,5|

Ici, il faut arrêter la résolution puisqu'une partie entière ne peut pas être égale à un nombre à virgule. L'équation n'a donc aucune solution.

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