Mathématique m1458

La résolution algébrique d'une inéquation

La résolution algébrique d'une inéquation consiste à déterminer les valeurs de la variable qui vérifient l'inéquation, c'est-à-dire son ensemble-solution.

La résolution d'inéquation doit respecter certaines règles. Les règles de transformation des inéquations permettent d'obtenir des inéquations équivalentes, c'est-à-dire des inéquations ayant le même ensemble-solution.

1. Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation conserve le sens de cette inéquation.

2. Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre strictement positif conserve le sens de cette inéquation.

3. Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un même nombre strictement négatif inverse le sens de cette inéquation.

 

Il faut inverser le signe d'inégalité si on multiplie ou on divise par un nombre négatif.

 

Soit |2(x+3x+5)\ge 178|

On isole le |x| afin de déterminer l'ensemble-solution.

|2(x+3x+5)\ge 178|
|(2\cdot x)+(2\cdot 3x)+(2\cdot5)\ge 178|
|2x+6x+10\ge 178|
|8x+10\ge 178|
|8x\ge 168|
|x\ge 21|

L'ensemble-solution est |x\ge 21|.

 

Soit |-\frac{5n+1}{2} > 6|

On isole le |n| afin de déterminer l'ensemble-solution.

|-\frac{5n+1}{2} > 6|
|-\frac{5n+1}{2}\times 2 > 6\times 2|
|-(5n+1) > 12|
|-5n-1 > 12|
|-5n > 13|
|\frac{-5n}{-5} > \frac{13}{-5}|

Ici, il faut inverser le signe d'inéquation puisqu'on divise par un nombre négatif.

|n < -\frac{13}{5}|

L'ensemble-solution est |n < -\frac{13}{5}|.

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Les exercices
Résoudre une inéquation du premier degré
à une variable

Résoudre une équation ou une inéquation du
premier degré à une variable

Les références