Mathématique m1460

Les systèmes d'inéquations et le polygone de contraintes

Un système d'inéquations du premier degré à deux variables est un ensemble composé d'au moins deux inéquations.

L'ensemble-solution d'une inéquation est représentée par une région du plan cartésien. L'ensemble-solution (ou encore région-solution) d'un système d'inéquations correspond donc graphiquement à l'intersection des régions-solutions de chaque inéquation du système.

Soit le système formé par les inéquations suivantes:
|3x+6y\le12| et |x>3y-4|

On peut le représenter de la façon suivante:



Tout point appartenant à la région A ne vérifie que l'inéquation |3x+6y\le12|.
Tout point appartenant à la région B ne vérifie que l'inéquation |x>3y-4|.
Tout point appartenant à la région C vérifie simultanément chacune des inéquations.
Tout point appartenant à la région D ne vérifie aucune inéquation.

L'ensemble-solution de ce système d'inéquations correspond donc à la région C puisqu'elle correspond à l'intersection des ensembles-solutions respectifs à chaque inéquation.

Les systèmes d'inéquations particuliers

Lorsque les droites frontières associées à un système d'inéquations sont parallèles, cela donne lieu à certains cas particuliers.

Il peut y avoir absence d'ensemble-solution (à gauche) ou encore la jonction des deux droites frontières (si elles sont tracées en traits pleins) peut formée l'ensemble-solution (à droite).
   
(cliquer sur les graphiques pour les agrandir)

L'ensemble-solution des deux inéquations peut correspondre à celui d'une inéquation unique (à gauche) ou encore la région comprise entre les deux droites frontières peut former l'ensemble-solution (à droite).
 
(cliquer sur les graphiques pour les agrandir)

Le polygone de contraintes

On appelle polygone de contraintes la forme géométrique délimitée dans un plan cartésien par la rencontre des diverses régions-solutions au système d’inéquations donné. Il s’agit de la région qui contient tous les points qui sont des solutions pour toutes les inéquations données.

Selon le système d'inéquations à représenter, le polygone de contraintes peut être ouvert lorsque la région qu'il délimite n'est pas bornée sur tous les côtés (comme le polygone de gauche ci-dessous). Il peut aussi être fermé lorsque la région qu'il délimite est bornée de toutes parts par des segments (comme le polygone de droite ci-dessous).

  

Voici le système d’inéquations suivant :
|y\leq x+2|
|y\leq -\frac{x}{2}+6|
|x\leq 6|
|y\ge-2x+4|
|y\ge0|

Si on trace chacune de ces inéquations dans un plan cartésien, on obtient les graphiques suivants:

1) |y\leq x+2|                                           2) |y\leq -\frac{x}{2}+6|
 

3) |x\le6|                                               4) |y\ge-2x+4|
  

5) |y\ge0|


Lorsqu'on superpose toutes ces régions, on obtient une région qui est hachurée par toutes les inéquations. Cette région, délimitée par un tour noir ci-dessous, se nomme polygone de contraintes. Les points qui sont à l’intérieur de ce polygone sont des points solutions de toutes les inéquations.


Ici, il s'agit d'un cas où le polygone est fermé.

Dans la plupart des situations réelles, les valeurs des variables ne peuvent pas être inférieures à 0. On ajoute alors au système deux inéquations appelées «contraintes de positivité». Par exemple, si la situation problème parle du nombre d'heures travaillées, il est impossible d'avoir des valeurs négatives. Il faut donc ajouter les contraintes |x\ge0| et |y\ge0| au système d'inéquations.

Les sommets d'un polygone de contraintes

Les points qui constituent les sommets du polygone de contraintes sont particulièrement intéressants. En effet, les points formant les sommets du polygone sont ses extremums, c’est-à-dire ses valeurs maximales et minimales. C’est à partir de ces extremums que nous pourrons optimiser un système d’inéquations.

Afin de déterminer les coordonnées des sommets d'un polygone de contraintes, on résout, pour chaque sommet, le système d'équations approprié. Il est possible de déterminer les coordonnées du point de rencontre des deux droites frontières de façon algébrique, graphique ou à l'aide d'une table de valeurs. Il est important de noter qu'un sommet fait parti de la région-solution seulement si les droites frontières qui le forment sont tracées par des traits pleins.

Dans le polygone de contrainte ci-dessous:

|\bullet| Les sommets F et G ne font pas partie de la région-solution puisqu'une des droites frontière qui les forment est tracée d'un trait en pointillé.
|\bullet| Le sommet H fait partie de la région-solution puisque les deux droites frontières qui le forment sont tracés par des traits pleins.

 

Pour en savoir plus sur les méthodes de résolution de systèmes d'équations:

|\bullet| La résolution de systèmes d'équations linéaires
|\bullet| La méthode de comparaison
|\bullet| La méthode de substitution
|\bullet| La méthode de réduction (élimination)

Les vidéos
Les exercices
Les références